随机过程知识点

随机过程复习

i,j?1?RnX(ti,tj)aiaj?0

(5) 若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)?X(t?T)，则RX(?)?RX(??t)； (6) 若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当???时，X(t)与X(t??)相互独立，则

???limRX(?)?mXmX

2(1) RXY(?)2?RX(0)RY(0),RXY(?)?RX(0)RY(0);

(2) RXY(??)?RYX(?)

§ 6.3 随机分析

一、收敛性概念

1、处处收敛

对于概率空间(?,?,P)上的随机序列{Xn}，每个试验结果e都对应一序列。

X1(e),X2(e),?,Xn(e),? （6.2）

故随机序列{Xn}实际上代表一族(6.2)式的序列，故不能用普通极限形式来定义随机序列的收敛性。若(6.2)式对每个e都收敛，则称随机序列{Xn}处处收敛，即满足

X?nXmil

??n其中X为随机变量。 2、以概率1收敛

若使随机序列{Xn(e)}满足

limXn(e)?X(e)n??的e的集合的概率为1，即

n??

P{e:limXn(e)?X(e)}?1

我们称二阶矩随机序列{Xn(e)}以概率1收敛于二阶矩随机变量X(e)，或称{Xn(e)}几乎处处收敛于X(e)，记作

a.eXn???X。

3、依概率收敛

若对于任给的ε>0， 若有

n??limP{|Xn(e)?X(e)|??}?0 ，

P则称二阶矩随机序列{Xn(e)}依概率收敛于二阶矩随机变量X(e)，记作Xn? ??X。4、均方收敛

设有二阶矩随机序列{Xn}和二阶矩随机变量X，若有

limE[|Xn?X|2]?0 (6.3)

n??成立，则称{Xn}均方收敛，记作Xn????X。

注：(6.3)式一般记为l.i.mXn?X或l..imXn?X。

x??m.s5、依分布收敛

设有二阶矩随机序列{Xn}和二阶矩随机变量X，若{Xn}相应的分布函数列{Fn(x)}，在X的分布函数F(x)的每一个连续点处，有

limFn(x)?F(x)

n?? 13

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d则称二阶矩随机序列{Xn}依分布收敛于二阶矩随机变量X，记作Xn???X

对于以上四种收敛定义进行比较，有下列关系：

(1) 若Xn????X，则Xn???X (2) 若

a.eXn???XP，则Xn???X

Pd(3) 若Xn???X，则Xn???X

m.sP定理2 二阶矩随机序列{Xn}收敛于二阶矩随机变量X的充要条件为

limE[|Xn?Xm|2]?0

n??定理3 设{Xn},{Yn},{Zn}都是二阶矩随机序列，U为二阶矩随机变量，{cn}为常数序列，a，b，c为常数。令l.i.mXn?X，l.i.mYn?Y，l.i.mZn?Z，l.i.mcn?c。则

（1） l.i.mcn?limcn?c；

n??（2） l.i.mU?U；

（3） l.i.m(cnU)?cU；

（4） l.i.m(aXn?bYn)?aX?bY； （5） limE[Xn]?E[X]?E[l.i.mXn]；

n??（6） limE[XnYm]?E[XY]?E[(l.i.mXn)(l.i.mYm)]；

n,m??特别有

limE[|Xn|2]?E[|X|2]?E[|l.i.mXn|2]。

n??定理4 设{Xn}为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的充要条件为下列极限存在

n,m??limE[XnXm]。

二、均方连续

定义 设有二阶矩过程{X(t),t?T}，若对t0?T，有

limE[|X(t0?h)?X(t0)|2]?0，

h?0imX(t0?h)?X(t0)。若对T中一切点都均方连续，则则称X(t)在t0点均方连续，记作l..h?0称X(t)在T上均方连续。

定理（均方连续准则）二阶矩过程{X(t),t?T}在t点均方连续的充要条件为相关函数

RX(t1,t2)在点(t,t)处连续。

推论 若相关函数RX(t1,t2)在{(t,t),t?T}上连续，则它在T×T上连续 三、均方导数

定义7 设{X(t),t?T}是二阶矩过程，若存在一个随机过程X?(t)，满足

limE|h?0X(t?h)?X(t)?X?(t)|2?0

h则称X(t)在t点均方可微，记作

dX(t)X(t?h)?X(t)?l..im h?0dth并称X?(t)为X(t)在t点的均方导数。

X?(t)＝

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类似的有X??(t)称

或d2X 2dt?R(t?h,t?h)?RX(t1?h1,t2)RX(t1,t2?h2)?RX(t1,t2)?lim?X1122?? h1?0h1h2h1h2?h2?0?为RX(t1,t2)在(t1,t2)的广义二阶导数，记为

?2RX(t1,t2)

?t1?t2定理6 均方可微准则 二阶矩过程{X(t),t?T}在t点均方可微的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)的广义二阶导数存在。

推论1 二阶矩过程{X(t),t?T}在T上均方可微的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在{(t,t),t?T}上每一点广义二阶可微。

dmX(t)推论2 若RX(t1,t2)在{(t,t),t?T}上每一点广义二阶可微，则在T上以及

dt???RX(t1,t2),RX(t1,t2),RX(t1,t2) ?t1?t2?t1?t2在T?T上存在，且有

dmX(t)dE[X(t)](1)??E[X?(t)];dtdt?RX(t1,t2)?(2)?E[X(t1)X(t2)]?E[X(t1)X(t2)?];?t1?t1(3)(4)四、均方积分

定义8 如果?n?0时，Sn均方收敛于S，即limE|Sn?S|?0，则称f(t)X(t)?n?02?RX(t1,t2)??E[X(t1)X(t2)]?E[X(t1)X(t2)?];?t2?t2?2RX(t1,t2)?2RX(t1,t2)??E[X?(t1)X(t2)?]?t1?t2?t2?t1

在[a,b]上均方可积，并记为

S??f(t)X(t)dt?l..im?f(ti?)X(ti?)(ti?ti?1)

a?n?0i?1bn 称此为f(t)X(t)在区间[a,b]上的均方积分。定理7 （均方可积准则）f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件为

??abbaf(t1)f(t2)RX(t1,t2)dt1dt2

存在。特别的，二阶矩过程X(t)在[a,b]上均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在[a,b]?[a,b]上可积。

定理8 设f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积，则有 (1) E[?baf(t)X(t)dt]??f(t)E[X(t)]dt

ab特别有 E[?baX(t)dt]??E[X(t)]dt

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(2) E[?baf(t1)X(t1)dt1?f(t2)X(t2)dt2]??abba?baf(t1)f(t2)RX(t1,t2)dt1dt2

特别的有 E|?baX(t)dt|??2ba?baRX(t1,t2)dt1dt2。

定理9 设二阶矩过程{X(t),t?T}在[a,b]上均方连续，则

Y(t)??X(?)d?,at(a?t?b)

在均方意义下存在，且随机过程{X(t),t?T}在[a,b]上均方可微，且有Y?(t)?X(t)。 推论 设X(t)均方可微，且X?(t)均方连续，则

X(t)?X(a)??X?(t)dt

att特别有

X(t)?X(a)??X?(t)dt

a§4 平稳过程的各态历经性

定义9 设{X(t),???t??}为均方连续的平稳过程，则分别称

?X(t)??l.i.mT??12T?T?TX(t)dt,?X(t)X(t??)??l.i.mT??12T?T?TX(t)X(t??)dt

为该过程的时间均值和时间相关函数。

定义10 设{X(t),???t??}是均方连续的平稳过程，若?X(t)?Pr.1E(X(t))，即

l.i.mT??12T?T?TX(t)dt?mX

以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。

若?X(t)X(t??)?Pr.1E(X(t)X(t??))，即

1l.i.mT??2T?T?TX(t)X(t??)dt?RX(?)

以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。

定义11 如果均方连续的平稳过程{X(t),t?T}的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。

定理 10 设{X(t),???t??}是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为

??12T?2lim1?[R(?)?m??XX]d??0 (6.9) T??2T??2T?2T?定理6.11 设{X(t),???t??}为均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经

性的充要条件为

1limT??2T其中

??1?2??d?1?0 (6.15) 1?B(?)?R(?)??1X??2T???2T?2T (6.16) B(?1)?E?X(t)X(t??)X(t??1)X(t????1)?????定理6.12 对于均方连续平稳过程{X(t),0?t??}，等式

1Tl.i.m?X(?)d??mX T??T0

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