因式分解提高版

（1）x+y -2 （2）x+y -3 x-y 3 x-y 2

由（1）可得：m?1，由（1）可得：m??1 故选择C。

说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。

例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足 求证：a 证明：??a?c?2?4?b?a??c?b?。

?b?b?c

?a?c?2?4?b?a??c?b?

2??a?c??4?b?a??c?b??0?a2?2ac?c2?4bc?4ac?4ab?4b2?02?a?c?4ba?c?4b?0????

2

??a?c?2b??0?a?c?2b?0?a?b?b?c 说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。

例3. 若x32?5x2?7x?a有一因式x?1。求a，并将原式因式分解。

3 解：?x?5x2?7x?a有一因式x?1

3 ∴当x?1?0，即x??1时，x ?a?3

?5x2?7x?a?0

x3?5x2?7x?3?x3?x2?4x2?4x?3x?3

?x2?x?1??4x?x?1??3?x?1???x?1??x?4x?3?2

??x?1??x?1??x?3???x?1??x?3? 说明：由条件知，x

【实战模拟】 1. 分解因式：

（1）a

22??1时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是x?1，分解时尽量出现

x?1，从而分解彻底。

b2?16ab?39 （2）15x2n?7xnyn?1?4y2n?2

（3）

2. 在多项式

4?x2?3x??22?x2?3x??72

2x?1，x?2，x?3，x2?2x?3，x2?2x?1，x2?2x?32，哪些是多项式

?x2?2x??10?x2?2x??9的因式？

3. 已知多项式2x

4. 分解因式：3x

5. 已知：x?23?x2?13x?k有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。

?5xy?2y2?x?9y?4

y?05.，x?3y?12.，求3x2?12xy?9y2的值。

【试题答案】 1.

（1）解：原式? （2）解：原式? （3）解：原式? 2. 解：??ab?2?16ab?39??ab?3??ab?13?

?3x?x4n?yn?1??5xn?4yn?1?

2?3x?4??x2?3x?18???x?4??x?1??x?6??x?3?

2?x2?2x??10?x2?2x??9

??x2?2x??9?x2?2x??122????2 ??x??x422?2x?3??x2?2x?3??x2?2x?1??x2?2x?1? ?2x?3??x?3??x?1??x?1??x2?2x?1?2 ∴其中x?1，x?3，x?2x?3，x2?2x?1是多项式

?x2?2x??10?x2?2x??9的因式。

2 说明：先正确分解，再判断。 3. 解：设2x 则2x33?x2?13x?k??2x?1??x2?ax?b?

?x2?13x?k?2x3??2a?1?x2??a?2b?x?b

?2a?1??1? ??a?2b??13

?b?k??a??1? 解得：?b??6

?k??6? ?k??6且2x3?x2?13x?6??2x?1?x2?x?6??2x?1??x?3??x?2?

?? 说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。 4.

解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。 设3x2?5xy?2y2?x?9y?4

??3x?y?m??x?2y?n??3x?5xy?2y??m?3n?x??2m?n?y?mn22?m?3n?1? 比较同类项系数，得：?2m?n?9

?mn??4? 解得：??m?4

n??1??5xy?2y2?x?9y?4??3x?y?4??x?2y?1?

?3x 5.

2 解：3x2?12xy?9y2

?3?x2?4xy?3y2??3?x?y??x?3y?

?x?y?05.，x?3y?12.

?原式?3?05.?12.?18. 说明：用因式分解可简化计算。

7、因式分解小结

【知识精读】

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

下面我们一起来回顾本章所学的内容。 【分类解析】

1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式x?x?x?x?x?1

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