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【分类解析】
1. 在数学计算、化简、证明题中的应用
例1. 把多项式2a(a?a?1)?a?a?1分解因式，所得的结果为（ ）
242
A.(a2?a?1)2C.(a?a?1)22B.(a2?a?1)2D.(a?a?1)22
分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式?2a((a?a?1)?a?a?1
242?a4?2a3?3a2?2a?1
?(a4?2a3?a2)?(2a2?2a)?1?(a?a)?2(a?a)?1?(a2?a?1)2222
故选择C
例2. 分解因式x?x?x?x?x?1
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x?x?x和?x?x?1分别看成一组，此时六
32项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x?x，x?x和x?1分别看作一组，此时的六
5432543254项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法1：
原式?(x5?x4?x3)?(x2?x?1)
?(x3?1)(x2?x?1)?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)
解法2：
原式?(x5?x4)?(x3?x2)?(x?1)?x4(x?1)?x2(x?1)?(x?1)
?(x?1)(x4?x2?1)?(x?1)[(x4?2x2?1)?x2]?(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)
2. 在几何学中的应用
例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足a?b，a?c?b?2ac 证明：以a、b、c为三边能构成三角形
分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 证明：?a?c?b?2ac
222222?a2?c2?b2?2ac?0?a2?2ac?c2?b2?0，即(a?c)2?b2?0?(a?c?b)(a?c?b)?0
又?a?c?b?a?c?b?a?c?b?0，a?c?b?0?a?b?c，a?b?c即a?b?c?a?b?以a、b、c为三边能构成三角形
3. 在方程中的应用
例：求方程x?y?xy的整数解
分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解
解：?x?y?xy
?xy?x?y?0?xy?x?y?1??1即x(y?1)?(y?1)??1 ?(y?1)(x?1)??1
?x,y是整数?x?1?1?x?1??1??或??y?1??1?y?1?1 ??
4、中考点拨
例1.分解因式：1?m?n?2mn?_____________。 解：1?m?n?2mn
22?x?0?x??2或? y?0y?2??22?1?(m2?2mn?n2) ?1?(m?n)2
?(1?m?n)(1?m?n) 说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。
例2．分解因式：x?y?x?y?____________ 解：x?y?x?y?(x?y)?(x?y)
222222
?(x?y)(x?y)?(x?y)?(x?y)(x?y?1)
说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。
例3. 分解因式：x?3x?4x?12?____________ 解：x?3x?4x?12?x?4x?3x?12
323232?x(x2?4)?3(x2?4)?(x?3)(x?2)(x?2)
说明：分组的目的是能够继续分解。
5、题型展示：
例1. 分解因式：m(n?1)?4mn?n?1 解：m(n?1)?4mn?n?1
222222?m2n2?m2?4mn?n2?1
?(m2n2?2mn?1)?(m2?2mn?n2)?(mn?1)?(m?n)22
?(mn?m?n?1)(mn?m?n?1) 说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。
例2. 已知：a?b?1，c?d?1，且ac?bd?0，求ab+cd的值。 解：ab+cd=ab?1?cd?1
2222?ab(c2?d2)?cd(a2?b2)?abc2?abd2?cda2?cdb2 ?(abc?cdb)?(abd?cda)
2222?bc(ac?bd)?ad(bd?ac)?(ac?bd)(bc?ad)
?ac?bd?0?原式?0
说明：首先要充分利用已知条件a?b?1，c?d?1中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。
例3. 分解因式：x?2x?3
分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着
32222x?1是x3?2x?3的一个因式，因此变形的目的是凑x?1这个因式。
解一（拆项）：
x?2x?3?3x?3?2x?2x
333?3(x?1)(x2?x?1)?2x(x2?1)?(x?1)(x?x?3)2
解二（添项）：
x3?2x?3?x3?x2?x2?2x?3
?x2(x?1)?(x?1)(x?3) ?(x?1)(x2?x?3) 说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？
【实战模拟】 1. 填空题：
（1）分解因式：a2?3a?b2?3b? （2）分解因式：x?2x?4xy?4y?4y?22
（3）分解因式：1?mn(1?mn)?m3n3?2. 已知：a?b?c?0，求a?ac?abc?bc?b的值。
3. 分解因式：a
4. 已知：x?y?z?0，A是一个关于x,y,z的一次多项式，且x?y?z?(x?y)(x?z)A，试求A的表达式。
5. 证明：(a?b?2ab)(a?b?2)?(1?ab)?(a?1)(b?1)
22232235?a?1
222333
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