因式分解提高版

号后，多项式的各项都要变号。

解：有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，

(a?b)2n?(b?a)2n；(a?b)2n?1??(b?a)2n?1，是在因式分解过程中常用的因式变换。

2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算

123?987987987987

?268??456??521?1368136813681368 3. 在多项式恒等变形中的应用

例：不解方程组?2x?y?3，求代数式(2x?y)(2x?3y)?3x(2x?y)的值。 ??5x?3y??2 分析：不要求解方程组，我们可以把2x?y和5x?3y看成整体，它们的值分别是3和?2，观察代数式，发现每一项都含有2x?y，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x?y和5x?3y的式子，即可求出结果。 解：(2x?y)(2x?3y)?3x(2x?y)?(2x?y)(2x?3y?3x)?(2x?y)(5x?3y) 把2x?y和5x?3y分别为3和?2带入上式，求得代数式的值是?6。 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n，3n?2?2n?2?3n?2n一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3n?2?2n?2?3n?2n?3n?2?3n?2n?2?2n ?3(3n2?1)?2n(22?1)

?10?3n?5?2n ?对任意自然数n，10?3n和5?2n都是10的倍数。?3n?2?2n?2?3n?2n一定是10的倍数 5、中考点拨：

例1。因式分解3x(x?2)?(2?x) 例2．分解因式：4q(1?p)3?2(p?1)2

说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

题型展示：

例1. 计算：2000?20012001?2001?20002000 精析与解答：

设2000?a，则2001?a?1

?2000?20012001?2001?20002000

?a[10000(a?1)?(a?1)]?(a?1)(10000a?a)?a(a?1)?10001?a(a?1)?10001

?a(a?1)?(10001?10001)?0 说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有

2001?2000?1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求

值，从而简化计算。

例2. 已知：x值。

分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。注意到x22?bx?c（b、c为整数）是x4?6x2?25及3x4?4x2?28x?5的公因式，求b、c的

?bx?c是

3(x4?6x2?25)及3x4?4x2?28x?5的因式。因而也是?(3x4?4x2?28x?5)的因式，所求问题即

可转化为求这个多项式的二次因式。 解：?x2?bx?c是3(x4?6x2?25)及3x4?4x2?28x?5的公因式

4 ?也是多项式3(x 而3(x4?6x2?25)?(3x4?4x2?28x?5)的二次因式

?6x2?25)?(3x4?4x2?28x?5)?14(x2?2x?5)

?b、c为整数 得：x ?b2?bx?c?x2?2x?5

??2，c?5

2 说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x

例3. 设x为整数，试判断10?5x 解：10?5x?28x?70，从而简便求得x2?bx?c。

?x(x?2)是质数还是合数，请说明理由。

?x(x?2)

?5(2?x)?x(x?2)

?(x?2)(5?x) ?x?2，5? ?(xx都是大于1的自然数

?2)(5?x)是合数

说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。

【实战模拟】 1. 分解因式： （1）?4m （2）a22n3?12m3n2?2mn

xn?2?abxn?1?acxn?adxn?1（n为正整数）

（3）a(a?b) 2. 计算：(?2) A. 21003?2a2(b?a)2?2ab(b?a)2

11?(?2)10的结果是（ ）

B. ?210

C. ?2

D. ?1

3. 已知x、y都是正整数，且x(x?

4. 证明：81

5. 化简：1?7y)?y(y?x)?12，求x、y。

?279?913能被45整除。

x?x(1?x)?x(1?x)2??x(1?x)1995，且当x?0时，求原式的值。

试题答案

1. 分析与解答： （1）?4m ?2n3?12m3n2?2mn

?2mn(2mn2?6m2n?1)

2 （2）a ?xn?2?abxn?1?acxn?adxn?1

axn?1(ax3?bx2?cx?d)

a(a?b)3?2a2(a?b)2?2ab(a?b)2

（3）原式??a(a?b)2[(a?b)?2a?2b] ?a(a?b)2(3a?3b)

?3a(a?b)2注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。 2. B 3. ?x(x? ?(xy)?y(y?x)?12

?y)(x?y)?12

?x、y是正整数

?12分解成1?12，2?6，3?4 又?x?y与x?y奇偶性相同，且x?y?x?y

?x?y?2???x?y?6

x?4????y?2 说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。 4. 证明：?817?279?913

?328?327?326?326(9?3?1) ?326?5

?324?32?5?324?45 ?817?279?913能被45整除

5. 解：逐次分解：原式?(1?x)(1?x)?x(1?x)2??x(1?x)1995