因式分解提高版

A. B. C. D.

5. 分解因式：

【试题答案】

.

1. D【思路分析】当 多项式的各项中含有同一个字母时，把这个字母次数最低的作为公因式中的一个因式. 2. D【思路分析】如 果多项式的第一项前有“－”号，提取时，“－”要作为公因式的一部分. 3. A【思路分析】提 取公因式后，剩下的部分即为所求. 4. C

5. B【思路分析】（y－x）=（x－y）.

6. A【思路分析】B，C选项属于整式乘法，D选项变形后还是和的形式. 7. C

8. A 【思路分析】（－2）二、

9. 4xy【思路分 析】单项式的公因式取系数的最大公约数，字母相同的因式都要取且取最低次幂. 10. b+2a－7a

11. －3【思路分析】4x－6x=2x（2x－3）. 12. a－b－2【思路分析】（b－a）=（a－b） 三、解答题

13. 解：a（8－a）+b（a－8）－c（8－a）= a（8－a）－b（8－a）－c（8－a） =（8－a）（a－b－c）

2

2

3

2

2

2

2

103

19992

2

+（－2）

2000

=（－2） ×（1－2）= 2

19991999

.

当a=1，b= ，c= 时，原式=（8－1）×（1－－）=0.

【思路分析】先分解因式，然后将字母的值分别代入分解因式的结果. 14. 解：2xy－xy=

43

3

4

.

当2x－y=，xy=2时，原式= .

【思路分析】分解因式后，采取整体代入. 15. 解：3

2003

－4×3+10×3=3

2

2

200220012001

（3－4×3+10）=3

2

22001

×7.能被7整除.

2

【思路分析】将原式分解因式，所得结果里含有7的因式，说明能被7整除. 16. 解：∵4x+7x+2=4 ∴4x+7x=2 ∴－12x－21x=－3（4x+7x）=－3×2=－6. 【思路分析】先分解因式，后整体代入.

17. 证明：设n为整数，则n，n+1是两个连续整数，∴n·（n+1）+（n+1）=（n+1）（n+1）=（n+1），故原命题成立.

【思路分析】两个连续整数可分别用n，n+1表示，列出代数式后进行分解因式即可.

第三讲 因式分解

因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法． 【例1】将x+8分解因式正确的是（ ）

4

2

A、（x﹣16）

4

B、（x+4）（x﹣4） C、（x+4）（x+2）（x﹣2）

2

2

222

D、（x+2）（x﹣2）

222

考点：因式分解-运用公式法。

分析：先提取公因式，然后套用公式a﹣b=（a+b）（a﹣b），再进一步分解因式． 解答：解：x+8， =（x﹣16）， =（x﹣4）（x+4）， =（x﹣2）（x+2）（x+4）． 故选C．

点评：本题考查了用公式法进行因式分解的能力，进行因式分解时，若一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再套用公式进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 【例2】 20、分解因式：（x﹣3）（x﹣1）+1． 考点：因式分解-运用公式法。 专题：常规题型。

分析：先根据多项式的乘法整理成多项式的一般形式，然后再利用完全平方公式进行因式分解． 解答：解：（x﹣3）（x﹣1）+1 =x﹣4x+3+1 =x﹣4x+4 =（x﹣2）．

点评：本题考查了利用完全平方公式分解因式，先利用多项式的乘法整理成多项式的一般形式是解题的关键． 【例3】分解因式x﹣2x+1.

解：x﹣2x+1=（x﹣1）=[（x﹣1）（x+1）]=（x﹣1）（x+1）.

【例4】多项式xy﹣yz+zx﹣xz+yx+zy﹣2xyz因式分解后的结果是（ ）

A、（y﹣z）（x+y）（x﹣z） C、（y+z）（x一y）（x+z）

B、（y﹣z）（x﹣y）（x+z） D、（y十z）（x+y）（x一z）

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

4

2

2

22

2

2

2

4

4

考点：因式分解-分组分解法。

分析：原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式（y﹣z）x+（z+y﹣2yz）x+zy﹣yz，再运用提取公因式法和十字相乘法分解因式． 解答：解：xy﹣yz+zx﹣xz+yx+zy﹣2xyz =（y﹣z）x+（z+y﹣2yz）x+zy﹣yz =（y﹣z）x+（y﹣z）x﹣yz（y﹣z） =（y﹣z）[x+（y﹣z）x﹣yz] =（y﹣z）（x+y）（x﹣z）． 故选A．

点评：本题考查了用分组分解法进行因式分解，难点是将原式重新整理成关于x的二次三项式，改变其结构，寻找分解的突破口．

【例5】分解因式：（x+3x）﹣2（x+3x）﹣8= （x+1）（x+2）（x﹣1）（x+4） ． 考点：因式分解-十字相乘法等。

分析：将（x+3x）看做一个整体，用十字相乘法来分解，对分解后的两个多项式再运用十字相乘法进一步分解． 解答：解：（x+3x）﹣2（x+3x）﹣8=[（x+3x）﹣4][（x+3x）+2]=（x+3x﹣4）（x+3x+2]=（x+1）（x+2）（x﹣1）（x+4）

点评：同学们要明白对于十字相乘法中x、a、b对于代数式，仍然成立． 【例6】分解因式：x（x﹣2）（x+3）（x+1）+8= x+2）（x﹣1）（x+x﹣4） ． 考点：因式分解-十字相乘法等。 专题：因式分解。

分析：分别把（x﹣2）和（x+3）、x和（x+1）相乘，然后变为（x+x﹣6）（x+x），接着把x+x作为一个整体因式分解，然后即可求解．

解答：解：x（x﹣2）（x+3）（x+1）+8 =（x﹣2）（x+3）x（x+1）+8 =（x+x﹣6）（x+x）+8

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2

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2

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22

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2

2

2

=（x+x）﹣6（x+x）+8 =（x+x﹣2）（x+x﹣4） =（x+2）（x﹣1）（x+x﹣4）．

故答案为：（x+2）（x﹣1）（x+x﹣4）．

点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，解题的时候重新分组做乘法，同时也注意利用整体思想解决问题． 【例7】分解因式：（x+x﹣4）（x+x+3）+10= （x+x+1）（x+2）（x+1）（x﹣1） ． 考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-运用公式法。 专题：换元法。

分析：首先利用换元，令x+x=y，然后根据十字相乘法进行因式分解，最后再将x+x=y，代入进行还原，得出结果． 解答：解：令x+x=y， ∴原式=（y﹣4）（y+3）+10 =y﹣y﹣2 =（y+1）（y﹣2） 将x+x=y代入，

所以原式=（x+x+1）（x+x﹣2） =（x+x+1）（x+2）（x﹣1） =（x+x+1）（x+2）（x+1）（x﹣1）．

故答案为为（x+x+1）（x+2）（x+1）（x﹣1）．

点评：本题综合考查了十字相乘法和换元法，做这类题必须要记得还原回去，不能得出的结果为（y+1）（y﹣2）． 【例8】（1）完成下列配方问题：x+2px+1=[x+2px+（ p）]+（ 1﹣p）=（x+ p ）+（ 1﹣p） （2）分解因式：a﹣b+4a+2b+3的结果是 （a+b+1）（a﹣b+3） ． 考点：配方法的应用。 专题：配方法。

分析：（1）由于二次项系数为1，那么组成完全平方式的第三项应是第二项系数的一半，最后的结果应和原来的代数式相等；

（2）题中有4a，2b，应为完全平方式的第二项，整理为两个完全平方式的差的形式，进而用平方差公式展开即可． 解答：解：（1）x+2px+1=[x+2px+（p）]+（1﹣p）=（x+p）+（ 1﹣p）； 故答案为p；1﹣p；p；1﹣p；

（2）a﹣b+4a+2b+3， =（a+4a+4）﹣（b﹣2b+1）， =（a+2）﹣（b﹣1）， =（a+2+b﹣1）（a+2﹣b+1）， =（a+b+1）（a﹣b+3）．

故答案为：（a+b+1）（a﹣b+3）．

点评：本题考查了配方法的应用，把所给代数式整理为有完全平方式子的形式是解决问题的突破点；用到的知识点为a±2ab+b=（a±b）．

【例9】a+4分解因式的结果是（ ）

A、（a+2a﹣2）（a﹣2a+2） C、（a+2a+2）（a﹣2a﹣2）

4

4

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

4

2

2

4

2

2

2

4

2

4

2

4

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4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

2

2

2

2

2

222

B、（a+2a﹣2）（a﹣2a﹣2） D、（a+2a+2）（a﹣2a+2）

4

2

2

2

2

2

2

22

考点：因式分解-十字相乘法等。

分析：先将a+4变为a+4+4a﹣4a，再将a+4+4a看为一个整体，用完全平方公式分解，原式=（a+2）﹣4a，再利用平方差公式分解．

解答：解：a+4=a+4+4a﹣4a=（a+2）﹣4a=（a﹣2a+2）（a+2a+2） 故选D

点评：在因式分解中，为能够运用平方差公式、完全平方公式，因而可以通过减去一项或再加上相同的项来解决． 【例10】如果x﹣x﹣1是x+bx+1的一个因式，则b的值为（ ）

A、﹣2 C、0

B、﹣1 D、2

2

3

2

4

4

2

2

2

2

2

2

2

考点：因式分解的意义。 专题：因式分解。

分析：由题意x﹣x﹣1是ax+bx+1的一个因式，可得x+bx+1=（x﹣x﹣1）（x+c）将右边展开，然后根据系数相等，求出b值．

解答：解：∵x﹣x﹣1是x+bx+1的一个因式，

∴x+bx+1=（x﹣x﹣1）（x+c）=x+（c﹣1）x﹣（c+1）x﹣c ∴c﹣1=b，c+1=0，﹣c=1， ∴b=﹣2， 故选A．

点评：此题主要考查因式分解的意义，要注意因式分解的一般步骤： ：①如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；

②如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项应思考用平方 差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法； 如果多项式超过三项应思考用完全平方公式 法；

③分解因式时必须要分解到不能再分解为止．

训练题

1.将多项式x﹣2x﹣3分解因式，结果正确的是（ ）

A、（x+3）（x﹣1）

22

2

4

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2

3

2

3

2

2

B、（x+1）（x﹣3）

D、（x+1）（x﹣3）（x+3）

2

22

C、（x+3）（x﹣1）（x+1）

考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-运用公式法。 专题：常规题型。

分析：因为﹣3×1=﹣3，﹣3+1=﹣2，所以利用十字相乘法分解因式即可，但一定要分解到不能分解为止． 解答：解：x﹣2x﹣3=（x+3）（x﹣1）=（x+3）（x﹣1）（x+1）． 故选C．

点评：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行两次因式分解，分解因式一定要彻底． 2.分解因式xy﹣2xy+2y﹣4= （y﹣2）（xy+2） ． 考点：因式分解-分组分解法。

分析：此题需要两两分组，即一二项一组，三四项一组，分别提公因式，即可得到公因式（y﹣2），则问题得解． 解答：解：xy﹣2xy+2y﹣4， =（xy﹣2xy）+（2y﹣4）， =xy（y﹣2）+2（y﹣2）， =（y﹣2）（xy+2）．

故答案为：（y﹣2）（xy+2）．

点评：本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．注意将此题一二项一组，三四项一组分为两组，再提公因式分解即可． 3.分解因式：﹣4（a﹣b）+16（a+b）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用。

分析：先提公因式﹣4，再对余下的多项式利用平方差公式分解，将a﹣b和a+b看作一个整体． 解答：解：﹣4（a﹣b）+16（a+b）， =﹣4[（a﹣b）﹣4（a+b）]，

=﹣4[（a﹣b）﹣2（a+b）][（a﹣b）+2（a+b）]， =﹣4（a﹣b﹣2a﹣2b）（a﹣b+2a+2b）， =4（a+3b）（3a+b）．

点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，计算时要注意整体思想的利用和运算符号的处理． 4.4x﹣4x﹣y+4y﹣3= （2x+y﹣3）（2x﹣y+1） ．

2

22

22

2

2

2

2

224

2

2

2

2