江苏省2019高考数学二轮复习专题八附加题第1讲立体几何中的向量方法抛物线学案201812142268

→??A1B·n＝0，则由?

→??A1D·n＝0，

得?

?a－5c＝0，?

??b－5c＝0，

不妨取c＝1，则a＝b＝5, 此时n＝(5,5,1)， →

设AC1与平面A1BD所成角为θ，因为AC1＝(1,1,5)， →|AC1·n|→则sin θ＝cos〈AC＝ 1，n〉→

|AC1||n|

||

＝

517＝，

5151×27

|15|

517

所以AC1与平面A1BD所成角的正弦值为. 51

→→

(3)由A1(0,0，t)得，A1B＝(1,0，－t)，A1D＝(0,1，－t)， 设平面A1BD的法向量m＝(x，y，z)， →??A1B·m＝0，则由?

→??A1D·m＝0，

|

??x－zt＝0，

得?

?y－zt＝0，?

不妨取z＝1，则x＝y＝t，此时m＝(t，t,1)， →

又平面CBD的法向量AA1＝(0,0，t)，

→|AAt11·m|→故cos〈AA＝＝＝， ，m〉12→|m|21＋2t×t|AA1|

|

解得t＝

6

， 2

6. 2

所以当二面角A1－BD－C的大小为120°时，t的值为

8．在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝－1，点T(3,0)．动点P满足PS⊥l，垂足为S，→→

且OP·ST＝0.设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程；

(2)设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点(1,0)，线段PQ的中点为M，直线l→→

与x轴的交点为N.求证：向量SM与NQ共线． (1)解 设P(x，y)为曲线C上任意一点． 因为PS⊥l，垂足为S，

又直线l：x＝－1，所以S(－1，y)．

→→

因为T(3,0)，所以OP＝(x，y)，ST＝(4，－y)．

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因为→OP·→ST＝0，所以4x－y2＝0，即y2

＝4x. 所以曲线C的方程为y2

＝4x. (2)证明 因为直线PQ过点(1,0)，

故设直线PQ的方程为x＝my＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

??y2

联立?

＝4x，?y2

―4my―4＝0.

?

x＝my＋1，

消去x，得所以y1＋y2＝4m，y1y2＝―4. 因为点M为线段PQ的中点， 所以点M的坐标为?

?x1＋x2?2

，y1＋y2?2??，

即点M(2m2

＋1,2m)．

又因为S(－1，y1)，N(－1,0)， 所以→SM＝(2m2

＋2,2m－y1)， →

NQ＝(x2＋1，y2)＝(my2＋2，y2)．

因为(2m2

＋2)y2－(2m－y1)(my2＋2) ＝(2m2

＋2)y2

2－2my2＋my1y2－4m＋2y1 ＝2(y1＋y2)＋my1y2－4m＝8m－4m－4m＝0， 所以向量→SM与→

NQ共线．

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