江苏省2019高考数学二轮复习专题八附加题第1讲立体几何中的向量方法抛物线学案201812142268

个开口方向为例)．

→

解 (1)以O为坐标原点，OM为x轴正方向建立平面直角坐标系，

由题意，抛物线C1的通径为2a，所以标准方程为y＝2ax. (2)设抛物线C2：x＝my(m>0)， 又由题意， OM＝xP＝2a， 所以xP＝2a，代入y＝2ax， 得 yP＝22a，解得yP＝4a， 将点P?3得 ?3

2

3

2

3

3

2

3

3

3

2

2

?代入x2＝my，

?2a，4a?

3

?2＝m34a，解得 m＝a， ?2a?

2

所以抛物线C2为x＝ay.

4.如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2,1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)求抛物线的方程；

(2)若∠APB的平分线垂直于y轴，证明直线AB的斜率为定值． (1)解 由已知条件，可设抛物线的方程为x＝2py(p>0)， 因为点P(2,1)在抛物线上，所以2＝2p×1，p＝2. 故所求抛物线的方程是x＝4y. (2)证明 由题意知，kAP＋kBP＝0，所以2

2

2

y1－1y2－1

＋＝0， x1－2x2－2

－1－1

4x1＋2x2＋2

即＋＝0，所以＋＝0， x1－2x2－2444

所以x1＋x2＝－4.

x21x22

13

x22

1

－x2ky1－y244x1＋x2

AB＝xx＝＝4

＝－1.即直线AB的斜率为定值－1.

1－2x1－x25.已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求MN的最小值．

解 (1)由题意可设抛物线C的方程为x2

＝2py(p>0)，则p2＝1，p＝2，

所以抛物线C的方程为x2

＝4y.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率必存在，设方程为y＝kx＋1.

由???y＝kx＋1，2

?x2

＝4kx－4＝0，Δ＞0恒成立．

?

4y，

消去y，整理得x－所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 从而|x21－x2|＝4k＋1.

?由?y1?y＝xx，1

??y＝x－2，

联立，

解得点M的横坐标xx1M＝

2x＝2x18

2＝. 1－y1xx14－x1

1－

4同理，点N的横坐标x8N＝

4－x. 2

所以MN＝?x22M－xN?＋?yM－yN? ＝?x2

2

M－xN?＋?xM－xN?＝2|xM－xN|

＝2??8－8?4－x－x? 142??

2

＝82??x1－x2x?＝82k＋1?x，

12－4?x1＋x2?＋16??|4k－3|

令4k－3＝t，t≠0，则k＝t＋3

4

.

当t>0时，MN＝22

256

t2＋t＋1>2

2.

14

当t<0时，MN＝22

?5＋3?2＋16≥82. ?t5?255??

254

综上所述，当t＝－，即k＝－时，

33

MN的最小值是8

2. 5

B组 能力提高

6．(2017·江苏)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝120°.

(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； (2)求二面角B－A1D－A的正弦值．

解 在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E. 因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.

如图，以{→AE，→AD，AA→

1}为正交基底，建立空间直角坐标系A－xyz.

因为AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝120°，

则A(0,0,0)，B(3，－1,0)，D(0,2,0)，E(3，0,0)，

A1(0,0，3)，C1(3，1，3)．

(1)A→3，－1，－3)，AC→

1B＝(1＝(3，1，3)， →→

则cos〈A→

→

A1B·AC1

1B，AC1〉＝|A→||AC→

1B1|＝

?3，－1，－3?·?3，1，3?1

7＝－7

，

因此异面直线AAC1

1B与1所成角的余弦值为7.

(2)平面A→

1DA的一个法向量为AE＝(3，0,0)． 设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量， 又A→(3，－1，－3)，→

1B＝BD＝(－3，3,0)，

15

→??m·A1B＝0，

则?

→??m·BD＝0，

?3x－y－3z＝0，

即?

?－3x＋3y＝0.

不妨取x＝3，则y＝3，z＝2，

所以m＝(3，3，2)为平面BA1D的一个法向量，

→

AE·m?3，0，0?·?3，3，2?3→

从而cos〈AE，m〉＝＝＝.

→43×4|AE||m|3

设二面角B－A1D－A的大小为θ，则|cos θ|＝. 4因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cosθ＝因此二面角B－A1D－A的正弦值为

7. 4

27. 4

7．(2018·宿迁模拟)如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝t，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

(1)若t＝1，求异面直线AC1与A1B所成角的大小； (2)若t＝5，求直线AC1与平面A1BD所成角的正弦值； (3)若二面角A1—BD—C的大小为120°，求实数t的值．

解 (1)当t＝1时，A(0,0,0)，，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(1,1,1)， →→

则AC1＝(1,1,1)，A1B＝(1,0，－1), 故cos〈AC1，A1B〉＝＝0，

→→|AC1||A1B|所以异面直线AC1与A1B所成角为90°.

(2)当t＝5时，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，

→

→

AC1·A1B→→

A1(0,0,5)，C1(1,1,5)，

→→

则A1B＝(1,0，－5)，A1D＝(0,1，－5)， 设平面A1BD的法向量n＝(a，b，c)，

16