江苏省2019高考数学二轮复习专题八附加题第1讲立体几何中的向量方法抛物线学案201812142268

。 。 内部文件，版权追溯 第1讲 立体几何中的向量方法、抛物线

[考情考向分析] 1.利用空间向量的坐标判定线面关系，求异面直线、直线与平面、平面与平面所成的角，其中求角是考查热点，均属B级要求.2.考查顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A级要求．

热点一 利用空间向量求空间角

例1 (2018·淮安等四市模拟)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分→→→

别是AA1，AC和A1C1的中点．以{FA，FB，FG}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F－xyz.

(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值； (2)求二面角F－BC1－C的余弦值． 解 (1)因为AB＝1，AA1＝2，则F(0,0,0)，

????A?，0，0?，C?－，0，0?，B?0，?

?

1?21?2

??3??1?，0?，E?2，0，1?，

?2??

3?→→?1

所以AC＝(－1,0,0)，BE＝?，－，1?，

2?2?记异面直线AC与BE所成的角为α，

?

→→?则cos α＝|cos〈AC，BE〉|＝

??

＝2， 4

?? 3??1?＋?

?2??－?＋1????2??

2

2

1－1×

2

1

所以异面直线AC与BE所成角的余弦值为2. 4

(2)设平面BFC1的法向量为m＝(x1，y1，z1) , 3?→?1→??因为FB＝?0，，0?，FC1＝?－，0，2?，

?2?2??3→?m·FB＝y＝0，?2

则?

1→

m·FC＝－x＋2z＝0，??2

1

1

1

1

取x1＝4得，m＝(4,0,1)．

设平面BCC1的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)， 同理得，n＝(3，－1,0)， 所以cos〈m，n〉 ＝

4×3＋?－1?×0＋1×0

(251

＝，

222222173)＋?－1?＋0·4＋0＋1

根据图形可知二面角F－BC1－C为锐二面角， 251

所以二面角F－BC1－C的余弦值为.

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思维升华 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．

跟踪演练1 (2018·镇江期末)如图， AC⊥BC, O为AB中点，且DC⊥平面ABC, DC∥BE.已知AC＝BC＝DC＝BE＝2.

(1)求直线AD与CE所成角； (2)求二面角O－CE－B的余弦值．

→→

解 (1)因为AC⊥CB且DC⊥平面ABC，所以以C为原点， CB为x轴正方向，CA为y轴正方向，→

CD为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.

2

∵AC＝BC＝BE＝2，

∴C(0，0，0)， B(2，0，0)， A(0，2，0)， O(1，1，0)，

E(2，0，2)， D(0，0，2)，且AD＝(0，－2，2)，

→

→

CE＝(2，0，2).

→→

∴cos〈AD， CE〉＝

AD·CE→→

→||||AD41

＝＝. →22×222CE∴AD与CE的夹角为60°.

(2)平面BCE的法向量m＝(0，1，0)，设平面OCE的法向量n＝(x0，y0，z0). →→

由CO＝(1，1，0)， CE＝(2，0，2)， →??n·CE＝0，

得?

→??n·CO＝0，

??2x0＋2z0＝0，

则?

?x0＋y0＝0，?

??z0＝－x0，

解得?

?y0＝－x0，?

取x0＝－1，则n＝(－1，1，1).

∵二面角O－CE－B为锐二面角，记为θ， ∴cos θ＝|cos〈m，n〉|＝热点二 抛物线

例2 (2018·南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点T(1，t)(t<0)到抛物线y＝2px(p>0)焦点的距离为2.

2

|m·n|3＝.

|m||n |3

(1)求p，t的值；

(2)设A，B是抛物线上异于点T的两个不同点，过A作y轴的垂线，与直线TB交于点C，过

B作y轴的垂线，与直线TA交于点D，过T作y轴的垂线，与直线AB，CD分别交于点E，F.

求证：①直线CD的斜率为定值； ②T是线段EF的中点．

3

(1)解 由抛物线定义知，1＋＝2，所以p＝2，

2将点T(1，t)(t<0)代入抛物线y＝4x，得t＝－2.

2

p?y1??y2?(2)证明 设A?，y1?，B?，y2?， ?4??4?

①则直线TA的方程为y＋2＝

22

y1＋2

(x－1)， y21

4－1

?y2＋2??y1－2?

令y＝y2得，x＝＋1，

4所以D?同理C?

??y2＋2??y1－2?＋1，y2?，

?4????y1＋2??y2－2?＋1，y1?， ?4??

y2－y1y2－y1

所以直线CD的斜率为＝＝－1.

?y2＋2??y1－2??y1＋2??y2－2?4?y1－y2?

－444

故直线CD的斜率为定值．

②设点E，F的横坐标分别为xE，xF，

?y1＋2??y2－2?

由①知，直线CD的方程为y－y1＝－x＋＋1，

4?y1＋2??y2－2?

令y＝－2得，xF＝2＋y1＋＋1，

4设x1＝，

4

则直线AB的方程为y－y1＝

4

(x－x1)， y1＋y2

y21

?y1＋2??y1＋y2?令y＝－2得，xE＝x1－，

4所以xE＋xF2

x1－

＝

?y1＋2??y1＋y2??y1＋2??y2－2?

＋2＋y1＋＋1

44

2

2

2

4x1－y1－2y1－y1y2－2y2＋8＋4y1＋y1y2＋2y2－2y1－4＋44x1－y1＋8＝＝＝1，

88所以T是线段EF的中点．

思维升华 对于抛物线试题，解题关键是联立方程组，构造方程，应用抛物线的定义及几何性质进行分析求解，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题要注意分类讨论．

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