浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测四导数及其应用单元检测

Earlybird

由a，b∈(0，＋∞)且a>b，得af(a)>bf(b)，故选B.

10．(2018·温州“十五校联合体”联考)已知函数f(x)＝2x－e(e为自然对数的底数)，g(x)＝mx＋1(m∈R)，若对于任意的x1∈[－1,1]，总存在x0∈[－1,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数m的取值范围为( ) A．(－∞，1－e]∪[e－1，＋∞) B．[1－e，e－1]

C．(－∞，e－1]∪[1－e，＋∞) D．[e－1,1－e] 答案 A

解析 ∵f′(x)＝2－2e，∴f(x)在区间[－1,0]上为增函数，在区间[0,1]上为减函数， ∵f(－1)－f(1)＝(－2－e)－(2－e)＝e－e－4>0， ∴f(－1)>f(1)，

又f(0)＝－1，则函数f(x)在区间[－1,1]上的值域为

－2

2

2

－2

2x－2

－2

－2

－2

2

2

2

2

2xA＝[2－e2，－1]．

当m>0时，函数g(x)在区间[－1,1]上的值域为

B＝[－m＋1，m＋1]．

?－m＋1≤2－e，?依题意有A?B，则有?

??m＋1≥－1，

2

得m≥e－1.

2

当m＝0时，函数g(x)在区间[－1,1]上的值域为B＝{1}，不符合题意． 当m<0时，函数g(x)在区间[－1,1]上的值域为

B＝[m＋1，－m＋1]．

?m＋1≤2－e，?

依题意有A?B，则有?

??－m＋1≥－1，

2

得m≤1－e.

2

2

综上，实数m的取值范围为(－∞，1－e]∪[e－1，＋∞)．

第Ⅱ卷(非选择题 共110分)

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)

11．已知直线y＝kx与函数f(x)＝e(其中e为自然对数的底数)的图象相切，则实数k的值为________；切点坐标为________． 答案 e (1，e)

x2

??e＝k解析 设切点坐标为(x，y)，需满足?

y??x＝k，

xe＝yx

Earlybird

所以解得x＝1，y＝e，k＝e， 所以k＝e，切点坐标为(1，e)．

12．设函数f(x)＝xlnx，则点(1,0)处的切线方程是________________；函数f(x)＝xlnx的最小值为________． 1

答案 x－y－1＝0 － e

解析 由题意得f′(x)＝1＋lnx， 所以f′(1)＝1，

则所求切线方程为x－y－1＝0. 1

由f′(x)＝1＋lnx<0得0

e1

由f′(x)＝1＋lnx>0得x>，

e

?1??1?所以函数f(x)＝xlnx在?0，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增， ?e??e?

11?1?11

所以函数f(x)＝xlnx在x＝处取得最小值，最小值为f??＝ln＝－. ee?e?ee

13．(2018·宁波九校期末)函数f(x)＝x－2x＋e－e是________函数(填“奇”或“偶”)，在R上的增减性为________．(填“单调递增”、“单调递减”或“有增有减”) 答案 奇 单调递增

解析 ∵函数f(x)＝x－2x＋e－e， ∴它的定义域为R，

且满足f(－x)＝－x＋2x＋e－e＝－f(x)， 故函数f(x)为奇函数．

由于函数的导数f′(x)＝3x－2＋(e＋e)≥3x－2＋2＝3x≥0， 故函数在R上单调递增．

14．(2018·诸暨检测)已知函数f(x)＝x－3x，函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程是________；函数f(x)在[0,2]内的值域是________． 答案 y＝－3x [－2,2] 解析 ∵f(x)＝x－3x， ∴f′(x)＝3x－3，

又∵f(0)＝0，f′(0)＝－3，

∴函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝－3x. 令f′(x)＝3x－3＝0，得x＝±1，

当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表.

22

3

3

2

3

－x3

3

x－xx－xxx－x22

Earlybird

x f′(x) f(x)

(－∞，－1) ＋ ↗ －1 0 极大值2 (－1,1) － ↘ 1 0 极小值－2 (1，＋∞) ＋ ↗ ∴在[0,1]上，f(x)是减函数，其最小值为f(1)＝－2，最大值为f(0)＝0；在[1,2]上，f(x)是增函数，其最小值为f(1)＝－2，最大值为f(2)＝2.综上，在[0,2]上，f(x)的值域为[－2,2]．

x1

15．已知函数f(x)＝ln＋，g(x)＝ex－2，若g(m)＝f(n)成立，则n－m的最小值为________．

22

答案 ln2

解析 令f(n)＝g(m)＝k(k>0)， 2e

则由ln＋＝k，解得n＝，

22e由e

m－2

n1

k＝k，解得m＝lnk＋2， 2e2e

k则n－m＝令h(k)＝

e

k－lnk－2， －lnk－2，

ke

则h′(k)＝2e

e

1

－，

k1?1??1?由h′(k)＝0得k＝，且当k∈?0，?时，h′(k)<0，h(k)单调递减，当k∈?，＋∞?时，2?2??2?

h′(k)>0，h(k)单调递增，

?1?则h(k)min＝h??＝ln2，

?2?

即n－m的最小值是ln2.

lnxλx16．设实数λ>0，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式e－≥0恒成立，则λ的最小值

λ为________． 1答案 e

lnxλx解析 当x∈(0,1]时，λ>0，不等式e－≥0显然成立，λ可取任意正实数；

λlnxλxλxλxlnx当x∈(1，＋∞)时，e－≥0?λe≥lnx?λx·e≥lnx·e，

λ设函数f(x)＝x·e(x>0)，而f′(x)＝(x＋1)·e>0， 则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

xxEarlybird

lnxλxlnx那么由λx·e≥lnx·e可得λx≥lnx?λ≥.

xlnx令g(x)＝(x>1)，

x1－lnx而g′(x)＝， 2

x易知函数g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 11那么g(x)max＝g(e)＝，则有λ≥.

ee1

综上分析可知，λ的最小值为.

e

17．对于定义在R上的函数f(x)，若存在非零实数x0，使函数f(x)在(－∞，x0)和(x0，＋∞)上均有零点，则称x0为函数f(x)的一个“折点”．现给出下列四个函数： ①f(x)＝3

|x－1|

＋2；

②f(x)＝lg|x＋2019|； ③f(x)＝－x－1；

3④f(x)＝x＋2mx－1(m∈R)．

则存在“折点”的函数是________．(填序号) 答案 ②④ 解析 因为f(x)＝3

|x－1|

2

x3

＋2>2，

所以函数f(x)不存在零点， 所以函数f(x)不存在“折点”；

对于函数f(x)＝lg|x＋2019|，取x0＝－2019， 则函数f(x)在(－∞，－2019)上有零点x＝－2020， 在(－2019，＋∞)上有零点x＝－2018，

所以x0＝－2019是函数f(x)＝lg|x＋2019|的一个“折点”； 对于函数f(x)＝－x－1，

3则f′(x)＝x－1＝(x＋1)(x－1)． 令f′(x)>0，得x>1或x<－1； 令f′(x)<0，得－1

所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减． 1

又f(－1)＝－<0，

3

所以函数f(x)只有一个零点，

2

x3