浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测四导数及其应用单元检测

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单元检测四 导数及其应用

(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列求导运算正确的是( ) A.???x＋11x2???

′＝1＋x3B ．(log3x)′＝

1xlg3

C．(3x)′＝3x·ln3 D．(x2

sinx)′＝2xcosx

答案 C

解析 由求导法则可知C正确．

2．已知函数f(x)＝lnx＋x2

f′(a)，且f(1)＝－1，则实数a的值为( ) A．－1

2或1

B.12 C．1 D．2

答案 C

解析 令x＝1，则f(1)＝ln1＋f′(a)＝－1， 可得f′(a)＝－1.

令x＝a>0，则f′(a)＝1

a＋2af′(a)，

即2a2

－a－1＝0，解得a＝1或a＝－12

(舍去)．

3．若函数f(x)＝xex的图象的切线的倾斜角大于π2，则x的取值范围是( A．(－∞，0) B．(－∞，－1) C．(－∞，－1] D．(－∞，1)

答案 B

解析 f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex， 又切线的倾斜角大于π

2

，

所以f′(x)<0，即(x＋1)ex<0，解得x<－1.

)

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e

4．函数f(x)＝的部分图象大致为( )

3x|x|

答案 C

解析 由题意得f(x)为奇函数，排除B； e

又f(1)＝<1，排除A；

3e

当x>0时，f(x)＝，

3x?x－1?e

所以f′(x)＝，函数f(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增，23x排除D.

xx?1?2

5．若函数f(x)＝lnx＋ax－2在区间?，2?内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是

?2?

( )

A．(－∞，－2] 1??C.?－2，－? 8??答案 D

12ax＋1

解析 对f(x)求导得f′(x)＝＋2ax＝，

2

?1?B.?－，＋∞?

?8?

D．(－2，＋∞)

xx?1?2

由题意可得2ax＋1>0在?，2?内有解，

?2??1?所以a>?－2?min. ?2x??1?因为x∈?，2?， ?2?

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1??1??1??2

所以x∈?，4?，?－2?∈?－2，－?，

8??4??2x??所以a>－2.

6.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )

①f(b)>f(a)>f(c)；

②函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值； ③函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值； ④函数f(x)的最小值为f(d)．

A．③B．①②C．③④D．④ 答案 A

解析 由导函数的图象可知函数f(x)在区间(－∞，c)，(e，＋∞)内，f′(x)>0， 所以函数f(x)在区间(－∞，c)，(e，＋∞)内单调递增，在区间(c，e)内，f′(x)<0， 所以函数f(x)在区间(c，e)内单调递减． 所以f(c)>f(a)，所以①错；

函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，故②错，③对； 函数f(x)没有最小值，故④错．

7．已知函数f(x)＝(x－mx－m)e＋2m(m∈R)在x＝0处取得极小值，则f(x)的极大值是( )

A．4eB．4eC．eD．e 答案 A

解析 由题意知，f′(x)＝[x＋(2－m)x－2m]e，

2

－2

2

－2

22

xxf′(0)＝－2m＝0，解得m＝0，

∴f(x)＝xe，f′(x)＝(x＋2x)e. 令f′(x)>0，解得x<－2或x>0， 令f′(x)<0，解得－2

则函数f(x)在区间(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在区间(－2,0)上单调递减， ∴函数f(x)的极大值为f(－2)＝4e.故选A.

－2

2x2

xEarlybird

?x?

8．设函数f(x)＝min?xlnx，x?(min{a，b}表示a，b中的较小者)，则函数f(x)的最大值为

e??

2

( )

314

A.ln2B．2ln2C.D.2 2ee答案 D

解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 由y1＝xlnx得y1′＝lnx＋1， 1令y1′＝0，解得x＝，

e

?1??1?∴y1＝xlnx在?0，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增． ?e??e?

2x－x由y2＝x，x>0得y2′＝x，

ee令y2′＝0，x>0，解得x＝2，

∴y2＝x在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，作出示意图如图， e

x2

2

x2

4

当x＝2时，y1＝2ln2，y2＝2.

e

4x∵2ln2>2，∴y1＝xlnx与y2＝x的交点在(1,2)内，

ee4

∴函数f(x)的最大值为2. e

9．已知y＝f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且有f′(x)＋(0，＋∞)，当a>b时，有( ) A．af(a)bf(a) 答案 B

解析 由f′(x)＋即

B．af(a)>bf(b) D．af(b)

2

f?x?

>0，则对于任意的a，b∈ xf?x?xf′?x?＋f?x?

>0，得>0， xx[xf?x?]′

>0，即[xf(x)]′x>0.

x∵x>0，∴[xf(x)]′>0，即函数y＝xf(x)为增函数，