河北省衡水中学2016届高三上学期四调考试理数试题

又?C?3，?为?C的中点，所以????C．

又因为?DI?C??，所以???平面??CD． （4分） （2）过点?作?z//??，所以?z?平面??CD．

如图，以?为原点，??，??，?z所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

??333?3?可得，?3,0,0，??0,1,0?，C?3,0,0，????2,0,2??，???4,0,4??．

????uuur?33uuur?53uuur3?3?所以????3,1,0，?????4,0,4??． ??2,0,2??，C???????uuur??3x?y?0r?n????0r??设n??x,y,z?是平面???的一个法向量，则?ruuu，即?333， rx?z?0????n????0?22r令x?1，则n?1,3,3．

r4ruuu设直线C?与平面???所成的角为?，可得sin??cosn,C??．

74所以直线C?与平面???所成角的正弦值为． （12分）

719、解：（1）Q?an?为等差数列，且a2?a7?a12??6，?3a7??6，即a7??2，

????????又Q公差d??1，?an?a7??n?7?d??2?n?7?5?n，n???．

n?a1?an?n?4?5?n?9nn2Sn????，n???． （3分）

2222（2）由（1）知数列?an?的前4项为4，3，2，1，

?等比数列?bn?的前3项为4，2，1， 1??bn?4?????2?n?11?，?anbn?4?5?n?????，

?2?n?11n?2n?1??1?0?1??1??1???Tn?4?4????3????L??6?n??????5?n?????，①

?2??2??2????2???2n?1n??1?11?1??1??1???Tn?4?4????3????L??6?n??????5?n?????，② 2?2??2??2????2???第9页/共14页

①?②得12T?????1?1?1?2?1?n?1???1?nn?4?4??????2?????2???L???2???????4?5?n??????2??

??1?n?12?1????16????2?????nn?1?4?5?n???1?1?1??2???12??2n?6????1??2??． 2n?1?T1?n?24??4n?12?????2??，n??? ． （8分）

?T?1??1220?4n?Tn?1?4n?124?n2n?1?2n?2?n2n?1， ?T1?T2?T3?T4?T5，且T5?T6?L??n， ?n??*时，?T49n?max?T4?T5?2． 又QS9nn2n?2?2，

?n??*时，?Sn?max?S4?S5?10，

Q存在m??*，使得对任意n??*，总有Sn?Tm??成立．

??S49n?max??Tm?max??，?10?2??， ?实数?的取值范围为????292,?????． （12分） 20、解：（1）如图，作FG//??，?G//?F，连接?G交?F于?，连接??，Q?F//CD且

?F?CD，??G//CD，即点G在平面??CD内．

由???平面??CD，知????G，

?四边形??FG为正方形，四边形CD?G为平行四边形， （2分） ??为?G的中点，?为CG的中点， ???//C?．

Q???平面??F，C??平面??F， ?C?//平面??F． （4分）

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?G，

（2）法一：如图，以?为原点，?G为x轴，?D为y轴，??为z轴，建立空间直角坐标系??xyz．

则

??0,0,0?，??0,0,1?，D?0,2,0?，

设??1,y0,0?，

?u?uDur??0,2,?1?，uDuu?ur??1,y0?2,0?，

设平面??D的一个法向量为nr??x,y,z?，则??ruuur?n?nr???uDuDu?ur?2y?z?0?x??y， ?0?2?y?0令y?1，得z?2，x?2?y0， ?nr??2?y0,1,2?． （10又Q???平面??D，?u??uur分）

??0,0,1?为平面??D的一个法向量，

?cosnr,u??uur?2?3y31??2?y2?cos0?2?0??1?46?2，解得3， ?在直线?C上存在点?，且C??2???3?3?2??． （12?3??分）?3法二：作?S?D?，则?S?3，由等面积法，得D??233，?C??33．分）

21、解：（1）由f?x???x3?x2?b，得f??x???3x2?2x??x?3x?2?，

令f??x??0，得x?0或x?23．

函数f??x?，f?x?在x?????12,1???上的变化情况如下表： x ?122 ????12,0??? 0 ???0,2?3?? ?3?2??3,1?? f??x? ? 0 ? 0 ? f?x? f???1??单调递单调递单调递?2? 减 极小值 增 极大值 减 Qf??1?3?2?4??2???8?b，f??3???27?b，?f????1?2???f??2??3??． 即最大值为f????1?332???8?b?8，?b?0． （3分） 第11页/共14页

12 （（2）由g?x???x2??a?2?x，得?x?lnx?a?x2?2x．

Qx??1,e?，lnx?1?x，且等号不能同时取得，?lnx?x，即x?lnx?0．

?x2?2x?x2?2x?a?恒成立，即a???． x?lnx?x?lnx?min?x?1??x?2?2lnx?， x2?2x令t?x??，x??1,e?，则t??x??2x?lnx?x?lnx?当x??1,e?时，x?1?0，lnx?1，x?2?2lnx?0，从而t??x??0．

?t?x?在区间?1,e?上为增函数，?t?x?min?t?1???1，a??1． （7分）

??f?x?,x?1（3）由条件F?x???．

gx,x?1????uuuruuurQ???Q是以?（?是坐标原点）为直角顶点的直角三角形，?????Q?0，

假设曲线y?F?x?上存在两点?，Q满足题意，则?，Q只能在y轴的两侧，不妨设

，则Q??t,t3?t2?（t?0）． ??t,F?t??（t?0）

??t2?F?t??t3?t2??0，是否存在?，Q等价于该方程t?0且t?1是否有根．

当0?t?1时，方程可化为?t2???t3?t2??t3?t2??0，化简得t4?t2?1?0，此时方程无解；

当t?1时，方程为?t2?alnt?t3?t2??0，即??t?1?lnt， 设h?t???t?1?lnt（t?1），则h??t??lnt??1（t?1），

显然，当t?1时，即h?t?在区间?1,???上是增函数，h??t??0，h?t?的值域是?h?1?,???，

即?0,???．

?当a?0时方程总有解，即对于任意正实数a，曲线y?F?x?上总存在两点?，Q，

1t1a使得???Q是以?（?为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．[来源:学科网] （12分）

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