级数敛散性

4. Cauchy判别法（根值判别法）：设?un是正项级数，limnun??

n?1n??? (1)则当??1时，级数?un 收敛；

n?1? (2) 则当??1时，级数?un 发散；

n?1?? (3) 则当??1时，级数?un 可能收敛也可能发散。

n?11?an?q?1，则?un收5. 对数判别法：若对任意的N??，当n?N时有

lnnn?1ln1?an?1，则?un发散。 敛；若有

lnnn?1ln6. 积分判别法：设f?x?是?1,???上非负下降函数，则

???f?x?dx收敛。 ??un??f?n????1n?1n?1???1.4.3 交错级数

1. Leibniz判别法：设un?0，un?un?1(n?1,2?)且limun?0，则交错级数

n???(?1)n?1?n?1un收敛且余和的绝对值

rN??n?N?1??(?1)n?1?nun?un?1

2. Cauchy定理：若级数?vn和?un 都绝对收敛，其和分别为S和?，则

n?1它们的乘积

??un?1k?1?nkvn?1?k?u1v1??u1v2?u2v1?????u1vn?u2vn?1??unv1???6

第一章 级数基本概念

?。 也是绝对收敛，且和为S?1.4.4 函数项级数

1. Cauchy准则：函数项级数?fn?z?在D一致收敛于S?z?的充分且必要条

n?1?件是： ????，??，使得当n?N时，Sn?p?z??Sn?z??z?D及一切自然数P同时成立。

?f?z???对一切

n?kk?1?p2. weierstass判别法： 设在集合G上fn?z??an?n?1,2??，且?an收敛，

n?1则?fn?z?在G上一致收敛。

n?1?1.4.5 幂级数

1. Abel定理：若?cn(z?a)n在z1?z1?a?收敛，则当z?a?z1?a时，级

n?1?数?cn(z?a)绝对收敛，若?cn(z?a)n在z2处发散，则当z?a?z2?a时，级

nn?1?n?1??数?cn(z?a)n发散。

n?1(1)幂级数在其收敛圆是内闭一致收敛的。

?1cn?1(2)比值法：若lim??，则幂级数?cn(z?a)n的收敛半径R?，这里，

n??c?n?1n当??0时，R???，当????时，R?0。

(3)根值法：limncn??，则级数?cn(z?a)n的收敛半径R?n???1n?1?

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1.4.6 傅立叶级数

1. 狄尼判别法：设f?x?连续或者至多有第一类间断点，记

s?f?x?0??f?x?0?

2??f?x?u??f?x?u??2s

若存在??0，使????u?u0du存在，则

a0????ancosnx?bnsinnx??s 2n?12. Lipschitz判别法 设f?x?在点x满足Lipa条件，即对充分小的u 有

f?x?u??f?x??Mu?（M,?为常数，0???1），则

a0?f?x?????ancosnx?bnsinnx?

2n?13. 狄里希莱-约当判别法 若f?x?在?x?h,x?h?上囿变，则在点x

f?x?0??f?x?0?a0? ???ancosnx?bnsinnx??2n?124. 弗耶定理 设f?x?是周期为2?的连续函数，Sn?x?为f?x?傅立叶级数的部分和，?n?x??于f?x?。

5. 威尔斯托拉斯逼近定理 设f?t??C?a,b?，周期为2?，则存在三角多项式列Tt?t?一致收敛于f?t?。

1?S0?x??S1?x????Sn?1?x??，则在???,???上?n?x?一致收敛n

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第二章 级数敛散性判别法

第二章 级数敛散性判别法

2.1 判别级数发散的简单方法

（注：面对一道通项有规律的判定收敛性的题时，最初的想法应该从定义下手）

定义：如果级数?un 的部分和数列?Sn?有极限，则?un收敛，反之发散。

n?1n?1??例题l 判别级数?解：因为

1的散敛性。

nn?1?n?1??un?11? nn?1故级数的部分和

N11??1Sn???????n?1?n?1n?n?1?n?1?nN1??1??11??11??1???????1????????????????，

?2??23??34??NN?1?1??????1?N?1又因为

1??limSn?lim?1???1 n??n???n?1?所以，原级数收敛。

例题2 判别级数?解：因为

NN111?1?1?1??1???2??2,?N?? ?????2nnn?1n?1nN??n?1n?2?n?2???1的散敛性 2nn?1?? 所以级数?

1收敛。 2nn?1??9