2019-2020年初中数学竞赛专题培训第十讲 三角形的全等及其应用

在中学教材中，关于三角形全等有以下判定公理：

(1)边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS”)． (2)角边角公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“ASA”)． 推论 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“AAS”)． (3)边边边公理 有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)． 关于直角三角形有：

(4)斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”)． 利用全等三角形，我们可以得到有关角平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形的许多重

要性质，在本讲中将直接利用这些性质．

借助于全等三角形的知识，我们可以研究很多关于角和线段相等及不等问题、关于直线平

行与垂直问题．

例1 如图2-1所示．∠1=∠2，∠ABC=∠DCB．求证：AB=DC．

分析 用全等三角形证明线段(或角)相等，最常用的方法是探究所求证的线段(或角)分别在

一对可证的全等三角形之中．本题的AB，DC分别属于两对三角形△ABE和△CDE及△ABC和△DBC．经分析可证明△ABE≌△CDE．

证 由已知，∠1=∠2， ∠ABC=∠DCB，而 ∠EBC=∠ABC-∠1， ∠ECB=∠DCB-∠2， 所以∠EBC=∠ECB．在 △ABC及△BCD中， ∠ABC=∠BCD， ∠EBC=∠ECB，BC=BC，

所以 △ABC≌△DCB(ASA)， 所以 AB=CD．

说明 线段AB，CD也属于两个(事实上)全等的△ABE和△DCE，因此也可直接证明这两个三

角形全等．

例2 如图2-2所示．△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，

连接DE交底BC于G．求证：GD=GE．

分析 从图形看，GE，GD分别属于两个显然不全等的三角形：△GEC和△GBD．此时就要利

用这两个三角形中已有的等量条件，结合已知添加辅助线，构造全等三角形．方法不止一种，下面证法是其中之一．

证 过E作EF∥AB且交BC延长线于F．在△GBD及△GEF中， ∠BGD=∠EGF(对顶角)， ① ∠B=∠F(两直线平行内错角相等)． ②

又∠B=∠ACB=∠ECF=∠F，所以，△ ECF是等腰三角形，从而EC=EF．又因为EC=BD，所以

2019-2020年初中数学竞赛专题培训第十讲 三角形的全等及其应用

由①，②，③

△GBD≌△GEF(AAS)，

所以 GD=GE．

说明 适当添加辅助线、构造全等三角形的方法可以不止一种，本题至少还有以下两种方法： (1)过D作DF∥AC，交BC于F．可用同样方法证明△GFD≌△GCE(图2-3)．

(2)过D作DF⊥BC于F；过E作EH⊥BC于BC延长线于H，可证明△GFD≌△GEH(图2-4)．

做完一道题后，再想一想还有没有其他证明方法，比较一下哪种证法更好，这对于发展思

考、锻炼能力是大有好处的．

例3 如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：

BP=2PQ．

分析 首先看到BP，PQ在Rt△BPQ之中，只要证明∠BPQ=60°(或∠PBQ=30°)．然而，∠

BPQ是△ABP的一个外角，所以∠BPQ=∠PAB+∠PBA．但∠A=∠PAB+∠PAC=60°，若能证明∠PBA=∠PAC，问题即能解决，这两个角分别在△ABE与△CAD中，可以证明这两个三角形全等．

证 在△ABE与△CAD中，

∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，AE=CD， 所以

△ABE≌△CAD(SAS)，

所以 ∠ABE=∠CAD．

由于∠BPQ是△ABP的外角，所以 ∠BPQ=∠PAB+PBA=∠PAB+∠CAD=60°．

在Rt△BQP中，∠BPQ=60°，∠PBQ=30°，所以BP=2PQ(在Rt△BPQ中30°角的对边等于

斜边的一半)．

说明 发现或构造全等三角形是利用全等三角形证明题目的关键，为此，我们常从发现两个

三角形中对应元素相等入手，逐步发现或经推理“凑齐”三角形全等的条件．如本题在分析到欲证∠ABP=∠CAD后，进而把注意力集中到△ABE与△CAD中，这里，可适当利用几何直观感觉，启发我们寻找有希望全等的三角形，例如虽然△ABP与△APE都含欲证的角，但只需观察即可知，这两个三角形无望全等．

例4 如图2-6所示．∠A=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E．求

证：