高一数学2014-2015学年高中数学必修一必修四测试题含答案

修文中学2015-2016学年度第一学期高一数学期末考试

模 拟 试 题

一、选择题

1．若向量ra?(1,1)，br?(2,5)，rc?(3,x)满足条件(8ra?rb)?rc?30，则x=（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3

2．如果cos(???)??15?3，那么sin(2??)等于（ ） A．

223 B．?223 C．?13[ D．13

??(1,1),?b?(?1,0),??a???b与?a?2?3．已知向量ab共线，则??=（ ） A．12 B．?12 C．2 D．?2

4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数为（ ）

A．?2?3 B．3 C．3 D．2

5．若3sin??cos??0,则1cos2??sin2?的值为（ ）

A．103 B．53 C．23 D．?2

6．函数y?Asin(?x??)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ） A．y?2sin(2x?2?3)B．y?2sin(2x??3) C．y?2sin(x2??3)D．y?2sin(2x??3) 7．已知函数f(x)????2x?1? x?00，若函数g(x)?f(x)?m有3个零点，则实数m的取值范围（ ）. ??x2?2xx?A．(0, 12) B．??1?2,1??? C．?0,1? D． （0,1）

8．A为三角形ABC的一个内角,若sinA?cosA?1225,则这个三角形的形状为（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x?3)?f(x)??1，f(?1)?2，则f(2008)?（ ）

A．0 B． 0.5 C．2 D．?1 10．已知函数f(x)???(3a?1)x?4a,(x?1)满足:对任意实数?logx,(x?1)x1,x2,当x1?x2时,总有f(x1)?f(x2)?0,那么实

a数a的取值范围是 ( )

A．[1,173) B．(0,1) C．(1,1) D．[13737,1) 二、填空题

11．已知I?{1,2,3,4,5,6},A?{1,3,4},则CIA= . 12．方程2sin(x??3)?a?1?0在?0,??上有两个不等的实根，则实数a的取值范围是

13．设f(x)???x2?1(x?0)，则f??2lgx(x?0)?f(100)??

14．若AB?8,AC?5，则BC的取值范围是

15．关于x的方程x2?2(m?1)x?m?4?0有实根，且一个大于2，一个小于2，则m取值范围为_ __ __. 三、解答题

16． 已知集合A??x|2?x?4?，B??x|3x?7?8?2x?,C??x|x?a?。 （1）求A?B；（2）求A?(CRB)；（3）若A?C，求a的取值范围

17．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝1， （1）求|a－2b|的值

（2）设向量p＝a＋2b，q＝a－2b，求向量p在q方向上的投影

1

1

cos x，－?，b＝(3sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·18．已知向量a＝?b. 2??

π

0，?上的最大值和最小值． （1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在??2?

19．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b?R，当a?b?0时，都有（1）若a?b，试比较f(a)与f(b)的大小关系； （2）若f(9x?2?3x)?f(2?9x?k)?0对任意x?[0,??)恒成立，求实数k的取值范围.

20. 在每年的“春运”期间，某火车站经统计每天的候车人数y（万人）与时间t（小时），近似满足函数关系式

??0，??21．已知函数y?Asin(?x??)(A?0，坐标为(?2的图象过点P(?12,0)，且图象上与P点最近的一个最高点

?3,5).

（1）求函数的解析式； （2）指出函数的增区间；（3）若将此函数的图象向左平行移动

?个单位长度后，再向6下平行移动2个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)在x??? 22．已知函数f(x)?????,?上的值域. ?63?f(a)?f(b)?0. a?bx2?ax?a,且a?1 x（1）当x?[1,??)时,判断f(x)的单调性并证明；（2）设函数g(x)?x?f(x)?|x2?1|?(k?a)x?a,k为常数..若关于x的方程g(x)=0在（0，2）上有两个解x1，x2,求k的取值范围, 并比较

11与4的大小. ?x1x2y?6sin(?t??)?10,??0,???，t??0,24?，并且一天中候车人数最少是夜晚2点钟，最多是在下午14

点钟。

（1）求函数关系式？

（2）当候车人数达到13万人以上时，车站将进入紧急状态，需要增加工作人员应对。问在一天中的什么时间段内，车站将进入紧急状态？

2

高中数学必修一必修四检测题（一）参考答案

CDBCA ADBBA 11．?2,5,6? 12．(?1,1?3) 13．17 14．?3,13? 15．m??45 16．解：（1）?B??x|3x?7?8?2x???x|x?3?

?A?B??x|2?x?4???x|x?3?= ?x|3?x?4?

（2）

eRB??x|x?3?

?A(eRB)??x|2?x?4???x|x?3?= ?x|x?4?

（3）?集合A??x|2?x?4?,C??x|x?a?，且A?C?a?4 17．解（1）∵|a－2b|=(a?2b)2=

a2?4b2?4a?b=3?4?4?3?32=1

（2）（法一）：由（1）可知q?a?2b?1；p?(a?2b)2?13；p?q?a2?4b2=?1

∴cos?p,q?=p?qp?q=?1313；从而在方向上的投影为pcos?p,q?=?1

（法二）：∵由（1）可知q?a?2b?1；pcos?p,q?=p?p?qp?q=p?q=?1

18．解：f(x)＝??

cos x，－1

2??·(3sin x，cos 2x) ＝3cos xsin x－131

2cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x

＝cosπ6sin 2x－sinπ

6cos 2x＝sin??2x－π6??. （1）f(x)的最小正周期为T＝

2πω＝2π

2

＝π， 即函数f(x)的最小正周期为π. （2）∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π5π

6≤6

. 由正弦函数的性质，知当2x－π6＝π2，即x＝π

3时，f(x)取得最大值1；

当2x－ππ1

6＝－6，即x＝0时，f(0)＝－2

，

当2x－π6＝5π6，即x＝π

2

时，f?π?2??＝12， ∴ f(x)的最小值为－1

2

.

因此，f(x)在??0，π2??上的最大值是1，最小值是－12. 19．解：（1）因为a?b，所以a?b?0，由题意得： f(a)?f(?b)a?b?0，所以f(a)?f(?b)?0，又f(x)是定义在R上的奇函数，?f(?b)??f(b) ?f(a)?f(b)?0，即f(a)?f(b) （2）由（1）知f(x)为R上的单调递增函数， ?f(9x?2?3x)?f(2?9x?k)?0对任意x?[0,??)恒成立， ?f(9x?2?3x)??f(2?9x?k)，即f(9x?2?3x)?f(k?2?9x)， ?9x?2?3x?k?2?9x，?k?3?9x?2?3x对任意x?[0,??)恒成立， 即k小于函数u?3?9x?2?3x,x?[0,??)的最小值. 令t?3x，则t?[1,??)?u?3?9x?2?3x?3t2?2t?3(t?1)2?133?1， ?k?1.

20．解：（1）由题意知T2?12?T?24?T?2???24 解得：???12 即：y?6sin(?12t??)?10,t??0,24?

又∵当t?2时，sin(?6??)??1,???

∴???2?3

∴y?6sin(?2?12t?3)?10,t??0,24? （2）问题等价于，y?6sin(?2?12t?3)?10?13 即sin(?2?12t?3)?12 3

∴

???6?12t?23?5?6?10?t?18 答：一天中10——18点，车站将进入紧急状态。

21．（1）由已知可得A?5,T4??3??12??4?T????2 ?y?5sin(2x??)

由5sin(2??12??)?0得

?6???0?????6

?y?5sin(2x??6) ……3分

（2）由2k???2?2x??6?2k???2得k???6?x?k???3(k?z)

?增区间是???k???6,k????3??(k?z)

（3）g(x)?5sin????2(x?6)???6???2?5sin(2x??6)?2 ???6?x??3???6?2x?6?5?6 ?1?sin(2x??)?1?9262?g(x)?3 ?g(x)的值域为????92,3??? 22．解：（1）由题意得：f(x)?x?ax?a，设1?x1?x2， 则f(xa?aaa(xx?a)1)?f(x2)?(x1??a)?(x2x?a)?x1?x2???(x1?x2)12x12x1x2x1x21?x1?x2，?x1?x2?0,x1x2?1，又a?1，得x1x2?a?0 ?f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)，∴f(x)在[1,??)上为增函数. （2）g(x)?xf(x)?|x2?1|?(k?a)x?a?x2?kx?|x2?1| g(x)?0在(0,2)上有两个解x1,x2，不妨设0?x1?x2?2 因为g(x)???2x2?kx?1, |x|?1?1, |x|?1 ?kx所以g(x)在(0,1]是单调函数，故g(x)?0在(0,1]上至多一个解. 若1?x11?x2?2，则x1x2??2?0，故不符题意，因此0?x1?1?x2?2 由g(x11)?0得k??x，所以k??1， 1由g(x0得k?172)?x?2x2，所以??k??1； 22故当?72?k??1时，方程g(x)?0在(0,2)上有两个解. 方法一：因为0?xk??121?1?x2?2，所以x，2x2?kx1?1?0 1消去k得2x2111x2?x1?x2?0，即x??2x2 1x2因为x112?2，所以x??4. 1x2方法二：由g(x)?0得k??11x 1由2x2?kx?1?0，得x??k?k2?84，因为x?k?k2?82?(1,2)，所以x2?4. 则11x???k??k?k2?8?1(k2?8?k). 1x242而y?12(k2?8?k)在(?72,?1)上是减函数 则1217272(k?8?k)?2((?2)?8?2)?4 因此1x?1?4 1x2

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