优秀的近世代数期末考试总复习

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？ 3、设有置换??(1345)(1245)，??(234)(456)?S6。

?1???1．求和?；

2．确定置换??和??1?的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题四

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ ）个元素。 A.2 C.7

B.5 D.10

?：x→x＋2，?x∈R，

2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射 则?是从A到B的（ ） A.满射而非单射 C.一一映射

B.单射而非满射 D.既非单射也非满射

3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ） A.(1)，(123)，(132)

B.(12)，(13)，(23)

5

C.(1)，(123) A.2 C.6

D.S3中的所有元素

4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。

B.4 D.8

5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ ） A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法 B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法 C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“?”：?m， n∈Z， m?n＝0 D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“?”：?m， n∈Z， m?n＝1 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。

7.设(G，·)是一个群，那么，对于?a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝ ___________。

8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。

9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于?a∈G，则元素a的阶只可能是___________。

10.在3次对称群S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H＝___________。

11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6

中的所有零因子是___________。

12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。 13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝_____________

6

___________。

14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是___________ ___________。 15.有理数域Q上的代数元

2+3在Q上的极小多项式是___________。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，?是Z到Zm的一个映射，其中

?

：k→［k］，?k∈Z，

验证：?是Z到Zm的一个同态满射，并求?的同态核Ker?。

17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。

18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。

四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）

19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“?”

由右边的运算表给出，证明：(G，?)作成一个群。

? a a b c b b c a c c a b

a b c 20.设

7

??aR??????c?b??a,b,c,d?Z?,d?????a0???I???a,c?Z?, ?c0?????已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。

21.设(R，＋，·)是一个环，如果(R，＋)是一个循环群，证明：R是一个交换环。

近 世 代 数 试 卷

一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）

1、设A与B都是非空集合，那么A?B??xx?A且x?B?。 （ ） 3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f?1。 （ ） 4、如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。 （ ） 6、群G的子群H是不变子群的充要条件为?g?G,?h?H;g?1Hg?H。 （ ） 7、如果环R的阶?2，那么R的单位元1?0。 （ ） 8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。 （ ） 9、F(x)中满足条件p(?)?0的多项式叫做元?在域F上的极小多项式。 （ ） 10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z?p?同构的子域，这里Z是整数环，?p?是由素数p生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）

1、设A1,A2,?,An和D都是非空集合，而f是A1?A2???An到D的一个映射，那么（ ）

①集合A1,A2,?,An,D中两两都不相同；②A1,A2,?,An的次序不能调换； ③A1?A2???An中不同的元对应的象必不相同；

8

2、设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。（ ）