2018届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法(含答案)

2??y1?4x1,由?2 得(y1?y2)(y1?y2)?4(x1?x2)，设PQ中点为M(x,y)， ??y2?4x2.当x1?x2时，有2y?所以，y?y1?y2y?4，又kPQ?kMF?，

x1?x2x?1y?2，即y2?2(x?1)． x?1当x1?x2时，易得弦PQ的中点为F(1,0)，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为y?2(x?1)．

10．过定点P(1, 4)作直线交抛物线C:y?2x于A、B两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M的轨迹方程为_________．y?4x?4

22

（二）解答题

1．一动圆过点P(0, 3)，且与圆x?(y?3)?100相内切，求该动圆圆心C的轨迹方程． （定义法）

22x2y2??1的左顶点A1作任意弦A1E并延长到F，使|EF|?|A1E|，A2为椭圆另一顶点，2．过椭圆

369连结OF交A2E于点P， 求动点P的轨迹方程．

y F EPA1OA2xx2y23．已知A1、A2是椭圆2?2?1的长轴端点，P、Q是椭圆上关于长轴A1A2对称的两点，求直线PA1和

abQA2的交点M的轨迹．（交轨法）

4．已知点G是△ABC的重心，A(0,?1), B(0,1)，在x轴上有一点M，满足

|MA|?|MC|，GM??AB ???R?．

（1）求点C的轨迹方程；（2）若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|AP|?|AQ|，

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试求k的取值范围．

解：（1）设C(x,y)，则由重心坐标公式可得G(,)． ∵ GM??AB ，点M在x轴上，∴ M(,0)．

xy33x3∵ |MA|?|MC|，A(0,?1)，∴

x2x2x22()?1?(x?)?y，即 ?y2?1． 333x2?y2?1（y??1）．（直接法） 故点C的轨迹方程为3（2）设直线l的方程为y?kx?b（b??1），P(x1,y1)、Q(x2,y2)，PQ的中点为N． 由??y?kx?b,22?x?3y?3.22消y，得(1?3k)x?6kbx?3(b?1)?0．

2222222∴ ??36kb?12(1?3k)(b?1)?0，即1?3k?b?0． ①

?6k2b2b6kby?y?k(x?x)?2b??2b?又x1?x2??，∴， 12122221?3k1?3k1?3k∴ N(?3kbb,)．

1?3k21?3k2∵ |AP|?|AQ|，∴ AN?PQ，∴ kANb?12111?3k??，即 ??， 3kbkk?1?3k2∴ 1?3k?2b，又由①式可得 2b?b?0，∴ 0?b?2且b?1．

22∴ 0?1?3k?4且1?3k?2，解得?1?k?1且k??223． 3故k的取值范围是?1?k?1且k??3． 35．已知平面上两定点M(0,?2)、N(0,2)，P为一动点，满足MP?MN?PN?MN． （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（直接法）

（Ⅱ）若A、B是轨迹C上的两动点，且AN??NB．过A、B两点分别作轨迹C的切线，设其交点为Q，证明NQ?AB为定值．

解：(Ⅰ)设P(x,y)．由已知MP?(x,y?2)，MN?(0,4)，PN?(?x,2?y),

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MP?MN?4y?8．

PN?MN?4x2?(y?2)2，……………………………………………3分

∵MP?MN?PN?MN，∴4y?8?4x2?(y?2)2 整理，得 x?8y． 即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x?8y．

22|m?1）MNAF?6．已知O为坐标原点，点E(?1,0)、动点A、，F(1,0)，N满足|AE|?m|EF（M、

?0，

1ON?(OA?OF)，AM//ME．求点M的轨迹W的方程．

21 解：∵MN?AF?0，ON?(OA?OF)，

2∴ MN垂直平分AF．

又AM//ME，∴ 点M在AE上，

∴ |AM|?|ME|?|AE|?m|EF|?2m，|MA|?|MF|， ∴ |ME|?|MF|?2m?|EF|，

∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴a?m，半焦距c?1， ∴ b?a?c?m?1．

2222x2y2?1（m?1）． ∴ 点M的轨迹W的方程为2?2mm?17．设x,y?R，i,j为直角坐标系内x,y轴正方向上的单位向量，若向量a?xi?(y?2)j，

b?xi?(y?2)j， 且|a|?|b|?8．

（1）求点M(x,y)的轨迹C的方程；（定义法）

（2）过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设OP?OA?OB，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程，若不存在，试说明理由．

x2y2??1； 解：（1）

1216（2）因为l过y轴上的点(0,3)．若直线l是y轴，则A,B两点是椭圆的顶点．

OP?OA?OB?0，所以P与O 重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．

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故直线l的斜率存在，设l方程为y?kx?3，A(x1,y1),B(x2,y2)．

?y?kx?3,?2222由?x2y2 消y得(4?3k)x?18kx?21?0,此时??(18k)?4(4?3k)(?21)＞0恒成立，

?1,???1216且x1?x2??18k21，， xx??124?3k24?3k2 OP?OA?OB，所以四边形OAPB是平行四边形．

若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA?OB，即OA?OB?0．

OA?(x1,y1),OB?(x2,y2)，

∴ OA?OB?x1x2?y1y2?0．

2即(1?k)x1x2?3k(x1?x2)?9?0．

(1?k2)?(?52118k52k?? ．，得． )?3k?(?)k??9?02244?3k4?3k165x?3，使得四边形OAPB是矩形． 4故存在直线l：y??8．如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：|EF|=2，且EF?l于G，点Q是直线l上一动点，点M满足：FM?MQ，点P满足：PQ//EF，PM?FQ?0． （I）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；

（II）若经过点E的直线l1与点P的轨迹交于相异两点A、B，令?AFB??， 当

3?????时，求直线l1的斜率k的取值范围． 4解：（1）以FG的中点O为原点，以EF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy，设点P(x,y)， 则F(0, 1)，E(0, 3)，l:y??1．

∵ FM?MQ，PQ//EF，∴Q(x,?1)，M(, 0)． ∵PM?FQ?0，∴ (?)?x?(?y)?(?2)?0，

2 x2x2即所求点P的轨迹方程为x?4y．

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