00,01,02,04,05,06.07,08年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题

2000年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题

1. 已知m,n为整数，方程x2?(n?2)n?1x?m?18?0有两个不相等的实数根,方程 2x?(n?6)n?1x?m?37?0有两个相等的实数根.求n的最小值，并说明理由。

2.已知M、N分别在正方形ABCD的边DA、AB上，且MN=AN，过A作BM的垂线，垂足为P。求证：∠APN=∠BNC

3.设N是正整数，如果存在大于1的正整数k，使得N-k(k?1)2是k的正整数倍，则N称为一个“千禧

数”，试确定在1，2，3，?，2000中“千禧数”的个数并说明理由。

4.给定四个命题：

（1）sin15°与sin75°的平方和为1；（2）函数 y=x-8x+6的最小值为 –10； （3）a4?1a?42

?a；（4）若3x?105?x?10?xx?5，则 x=10.其中错误的是 。

5.如图，△ABC中，AD和BE相交于F，已知△AFB的面积=12平方厘米，△BFD的

面积=9平方厘米，△AFE的面积=6平方厘米，那么，四边形CDEF的面积等于 平方厘米。

6.在△ABC中，AB=6?3，BC=2，△ABC的面积为1，若∠B是锐角，则∠C的

度数是 。

7.某自来水公司水费计算办法如下：每户每月用水不超过5吨的，每吨收费0。85元；超过5吨的，超出部分每吨收取较高的的定额费用。已知今年7月份张家用水量与李家用水量之比为2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么，超出5吨部分的收费标准是每吨 元。

8.满足方程11x2+2xy+9y2+8x-12y+6=0的实数根对（x,y）的个数是 。 9.函数y=x2-3|x|+7的图象与函数y= x2-3x+| x2-3x |+6的图象的交点个数是 . 10. 已知抛物线y= x2+(k+1)x+1与x轴的两个交点A,B不全在原点左侧，抛物线的顶

点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为 .

八．如图，已知AB是圆O的直径，PQ是圆O的弦，PQ与AB不平行，R是PQ的中点。作PS⊥AB,QT⊥AB,垂足分别为S,T(S≠T)，并且∠SRT=60，则11.满足方程 2x?x?5?x?x?1?222PQAB的值等于 .

x?3x?13的实数x的值是 .

12.在四边形ABCD中，边AB=x，BC=CD=4, DA=5,它的对角线AC=y，其中x,y都是整数，∠BAC=∠DAC,那么，x= .

2001年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题

1.在锐角ΔABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足。O为ΔABC的外心。求证：（1）ΔAEF～ΔABC；（2）AO⊥EF。

2.给定代数式 –x3+100x2+x 中的字母 x只允许在正整数范围内取值。当这个代数式的值达到最大值时， x的值等于多少？并证明你的结论。

3.（1）证明存在非零整数对（x,y）, 使代数式 11x2+5xy+37y2 的值为完全平方数；

(2) 证明存在六个非零整数a1,b1,c1,a2,b2,c2, 其中a1:a2≠b1:b2,使得对于任意自然数n, 当

2222

x=a1n+b1n+c1,y=a2n+b2n+c2 时，代数式 11x+5xy+37y的值都是完全平方数。 4. ?2???1????3?5?26?1?13???2?????5?26?11??15?26???= 。

3??25.在长方形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH相交于O，HC与EF相交于I。已知AH:HB=AE：ED=m:n,

△COI的面积为1平方厘米，那么矩形ABCD的面积等于 平方厘米。 6.将三个数： 5,311,2?119用两个不等号“>”连接起来，正确的结果应该是： 。

7.点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，∠C为直角，DE∥AB，且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的长等于 。

五．已知：x,y,z是正整数，并且满足

3x?4y?0?? ???x?y?z?x?y?z?3?15那么，x-y+z 的值等于 。 六．已知点D，E，F分别在△ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么

DGBC的值等于 。

8.如果满足 ||x2-6x-16|-10| = a的实数x 恰有6个，那么实数a的值等于 。

八．已知△ABC为等腰直角三角形，∠C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么9.满足下列两个条件

（1）对所有的自然数，x，x-2001x+n≥0; （2）存在自然数x0，使x02-2002 x0+n<0.

的正整数n的个数为

10.一批救灾物资分别随16列货车从甲站紧急调运到三百多千米以外的乙站，已知每列货车的平均速度?v?都相等，且记为v千米/小时。两列货车实在运行中的间隔不小于??千米，这这批救灾物资全部运

?25?2BDCF的值等于 。

到目的地最快需要6小时，那么每隔 分钟从甲站向乙站发一趟货车才能使这批货物在6小时内运到。

2002年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题

1.已知a,b,c是三个两两不同的奇质数，方程(b?c)x2?(a?1)5x?225?0有两个相等的实数根。（1）求a的最小值（2）当a达到最小时，解这个方程

2.设AB,CD为圆O的两直径，过B作PB垂直AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线PE，与圆分别交于E,F两点，连AE,AF分别与CD交于G,H两点（如图），求证：OG=OH.

3.已知a1,a2,?,a2002的值都是+1或-1，设S是这2002个数的两两乘积之和。 （1）求S的最大值和最小值，并指出能达到最大值，最小值的条件； （2）求S的最小正值，并指出能达到最小正值的条件

4.计算：2003-2001-6×2003+24×1001= 。

5.在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，如果∠A=27°，那么∠BDC= 。 6.已知0≤a-b≤1,1≤a+b≤4，那么当a-2b达到最大值时，8a+2002b的值等于 。

7.如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数。所有四合数的和等于 。

8.方程x-2|x+4|-27=0的所有根的和为 。 9.如果当m取不等于0和1的任意实数时，抛物线y?两个定点，那么这两个定点间的距离为 。

310.方程x?3

3

2

m?1mx?22mx?m?3m在平面直角坐标系上都过

3x?(23?1)x?3?23?0的三个根分别是 。

11.在Rt△ABC中，∠A=30°,∠A的平分线的长为1cm，那么△ABC的面积为 。 12.已知：商品利润率?商品出售价?商品成本价商品成本价?100%

某商人经营甲乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%，那么当售出的甲，乙两种商品的件数相等时，这个商人的总利润率是 。

十．设计一把直尺ABC，BC在地面上，AB与地面垂直，并且AB=10cm，移动一个半径不小于10cm的圆形轮子，使轮子紧靠A点，且与BC相切于D点（如图）。设计要求在D处的刻度恰好显示这个轮子的半径（以厘米为单位）。那么，当BC的长度为1M时，BC上可标出的最大刻度是

2004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题

1．求所有能使

2．已知BE、CF是锐角△ABC的两条高，求证∠ABE的平分线、∠ACF的平分线与线段 EF的垂直平分线

相交于一点．

3．在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标； (1)直线y=－2x+3通过这样的点； (2)不论m取何值，抛物线y=mx2+(m－

222?7a?3b?3c?0a?b?c1.若?，则= 。

a?4b?3c?0ab?n2200n?999为正整数的正整数n．

23)－(2m－

38)都不通过这样的点．

2．能使关于x的方程

x?1x?1?x?1x?1?2x?a?2x?12?0只有一个实数根的所有a的值的总和等于 ．

3．要使方程x4+(m－4)x2+2(1－m)=O恰有一个不小于2的实根，那么m的取值范围是 ． 4．在平面直角坐标系中，所有满足方程|x|+|y|=

为 ． 5．已知

x3y?y2x?5y2004一||x|－|y||的点(x,y)所围成的图形的面积

，那么当－4x2+12y－8达到最大值时，22x－33y= ．

6．已知y=100+10nx－10x－100x，其中n为正整数．要使0

成立，那么n= ．

7．设PO是边长为1的正△ABC的外接圆内的一条弦。已知AB和AC的中点都在PQ上．那么，PQ的长

等于 ． 8．在Rt△A BC中，AB=3，BC=4，∠B=9 O°，A D、BE、CF是△ABC的三条内角平分线．那么,△DEF的面积等于 ．

9．在△ABC中，AB=6，BC=5，AC=4，AP是它一条内角平分线，AP的垂直平分线EF与A P相交于点E，

与BC的延长线相交于点F．那么AF= ．

10．如图，A、B两地相距600km,过A地的一条铁路AD笔直地沿东西方向向两边延伸．点B到A D的最

短距离为3 6 0km．今计划在铁路线AD上修一个中转站C，再在BC间修一条笔直的公路．如果同样

的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么，为使通过铁路由A到C再通过公路由C到B的总运费达到最小值，中转站C的位置应使 AC= km.