2011年黄冈中学高考数学压轴题精选1

2011年黄冈中学高考数学压轴题精选1

1．设函数f?x????1,1?x?2?x?1,2?x?3，

g?x??f?x??ax,x??1,3?，其中a?R，记函数g?x?的最大值与最小值的差为h?a?。

（I）求函数h?a?的解析式；

（II）画出函数y?h?x?的图象并指出h?x?的最小值。

2．已知函数f(x)?x?ln?1?x?,数列?an?满足0?a1?1,

an?1?f?an?; 数列?bn?满足b1?12,bn?1?12(n?1)bn, n?N.求证:

*（Ⅰ）0?an?1?an?1;（Ⅱ）an?1?

an22;（Ⅲ）若a1?22,则当n≥2时,bn?an?n!.

3．已知定义在R上的函数f(x) 同时满足：

2（1）f(x1?x2)?f(x1?x2)?2f(x1)cos2x2?4asinx2（x1,x2?R，a为常数）；

（2）f(0)?f(［0,（3）当x??4)?1；

?4］时，f(x)≤2

求：（Ⅰ）函数f(x)的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．

4．设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆yx22?xb22?1(a?b?0)上的两点，

满足(x1b,y1a)?(x2b,y2a)?0，椭圆的离心率e?32,短轴长为2，0为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

5．已知数列{an}中各项为： 12、1122、111222、……、

11个... 122...2个

……

（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.

（2）求这个数列前n项之和Sn .

解答

?1?ax,1?x?21．解：（I）g?x???

1?ax?1,2?x?3???

（1）当a?0时，函数g?x?是?1,3?增函数，此时，g?x?max?g?3??2?3a，

g?x?min?g?1??1?a，所以h?a??1?2a；——2分

（2）当a?1时，函数g?x?是?1,3?减函数，此时，g?x?min?g?3??2?3a，

g?x?max?g?1??1?a，所以h?a??2a?1；————4分

（3）当0?a?1时，若x??1,2?，则g?x??1?ax，有g?2??g?x??g?1?； 若x??2,3?，则g?x???1?a?x?1，有g?2??g?x??g?3?； 因此，g?x?min?g?2??1?2a，————6分

而g?3??g?1???2?3a???1?a??1?2a， 故当0?a?当

1212时，g?x?max?g?3??2?3a，有h?a??1?a；

?a?1时，g?x?max?g?1??1?a，有h?a??a；————8分

?1?2a,a?0?1?1?a,0?a??2综上所述：h?a???。————10分

?a,1?a?1?2?2a?1,a?1?

（II）画出y?h?x?的图象，如右图。————12分 数形结合，可得h?x?min?h??1?1??。————14分 ?2?2

2．解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明0?an?1,n?N*.

（1）当n=1时,由已知得结论成立;

（2）假设当n=k时,结论成立,即0?ak?1.则当n=k+1时, 因为0

又f(x)在?0,1?上连续,所以f(0)

故当n=k+1时,结论也成立. 即0?an?1对于一切正整数都成立.————4分 又由0?an?1, 得an?1?an?an?ln?1?an??an??ln(1?an)?0,从而an?1?an. 综上可知0?an?1?an?1.————6分

x2 (Ⅱ)构造函数g(x)=

2-f(x)=

x22?ln(1?x)?x, 0

由g?(x)?x21?x?0,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在?0,1?上连续,所以g(x)>g(0)=0.

22 因为0?an?1,所以g?an??0,即

an2?f?an?>0,从而an?1?an2.————10分

(Ⅲ) 因为 b1?12,bn?1?12(n?1)bn,所以bn?0,

bn?1bn?n?12 ,

所以bn?bnbn?1bn?2?bn?1?b2b1?b1?12n?n! ————① , ————12分

由(Ⅱ)an?1?an22,知:

an?1an?an2, 所以

ana1=

aaa2a3aa??n?12?n?1 , a1a2an?1222

因为a1?22, n≥2, 0?an?1?an?1.

an?12 所以 an?

a1a222??a1<

a12nn?1<

2?a12n2=

12n————② . ————14分

由①② 两式可知: bn?an?n!.————16分

?x1?023．（Ⅰ）在f(x1?x2)?f(x1?x2)?2f(x1)cos2x2?4asinx2中,分别令?；

?x2?x?2?f(x)?f(?x)?2cos2x?4asinx, ①????x1??xx1????????44；得 ② ?f(+x)?f(x)?2a，??2??x???x???x22???????4?42f(+x)?f(?x)＝2cos（＋2x)?4asin（＋x）③??224 由①＋②－③，

得2f(x)?2a?2cos2x?2cos(?2?2x)?4［a1?cos2x21?cos2(］-4［a2?4?x)］

＝2a?2(cos2x?sin2x)?2a(cos2x?sin2x)∴f(x)?a?［0,（Ⅱ）当x?2(1?a)sin(2x??4)

?4］时，sin(2x??4)?[22,1]． 22(1?a)]≤f(x)≤a?2(1?a)≤2．

（1）∵f(x)≤2，当a<1时，1?a?即1?

2≤(1?

2)a≤2?2[2． ?2≤a≤1．

（2）∵f(x)≤2，当a≥1时，? 2≤a?

2(1-a)≤f(x)≤1．即1≤a≤4?32．

故满足条件a的取值范围[?2，4?32]．