2019年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷 解析版

∴k＝

∵OB＝OD1＝OD

∴△BD1D是直角三角形， ∴BD12+D1D2＝BD2， ∴（2C1A）2+D1D2＝144 ∴AC12+（kD1D）2＝36

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明△AOC1∽△BOD1是本题的关键．

28．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣7，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，顶点坐标为M． （1）求抛物线的表达式和顶点M的坐标；

（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，点E不与点M重合，当﹣7＜x＜﹣2时，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴与点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF的周长的最大值；

（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）因为已知抛物线与x轴两交点，故用交点法即能求抛物线解析式，再用配方法求顶点．

（2）用x表示EF、EH的长，用周长公式即能求出矩形EHDF周长与x的函数关系并求最大值．由于不确定点E在F的左侧还是右侧，故EF长度的表示需要分类讨论，每种情况下求得的最大值要考虑是否在对应的自变量取值范围内．

（3）三个点均有可能为直角顶点，需要分三种情况讨论．其中以点A或点C为直角顶点时，则直线AP或CP与直线AC垂直，易求直线AC与x轴夹角为45°，解析式的k

值为1，所以直线AP或CP与x轴夹角也为45°，解析式对应的k＝﹣1，进而求得直线AP或CP解析式，再求x＝﹣3时y的值即求出P；以P为直角顶点时，AC为斜边，取AC中点G和设P点坐标，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，列得方程，求解得P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线x轴交于A（﹣7，0），B（1，0）两点 ∴y＝﹣（x+7）（x﹣1）＝﹣x2﹣6x+7＝﹣（x+3）2+16 ∴抛物线表达式为：y＝﹣x2﹣6x+7，顶点M坐标（﹣3，16）．

（2）∵点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣7＜x＜﹣2 ∴EH＝y＝﹣x2﹣6x+7

∵对称轴为直线x＝﹣3，EF∥x轴 ∴F（﹣3，y） ∴EF＝|﹣3﹣x|

①当﹣7＜x＜﹣3时，E在F左边，EF＝﹣3﹣x

∴C矩形EHDF＝2（EF+EH）＝2（﹣3﹣x﹣x2﹣6x+7）＝﹣2（x+）2+∴当x＝

时，最大值C＝

②当﹣3＜x＜﹣2时，E在F右边，EF＝x+3

∴C矩形EHDF＝2（EF+EH）＝2（x+3﹣x2﹣6x+7）＝﹣2（x+）2+∴当x＝

时，最大值C＝

综上所述，矩形EHDF周长的最大值是

（3）存在满足条件的点P． ①若∠PAC＝90°，则PA⊥AC

∵点A（﹣7，0），C（0，7） ∴直线AC解析式为：y＝x+7 ∴直线PA解析式为：y＝﹣x﹣7 当x＝﹣3时，y＝3﹣7＝﹣4 ∴P（﹣3，﹣4）

②若∠PCA＝90°，则PC⊥AC ∴直线PC解析式为：y＝﹣x+7 当x＝﹣3时，y＝3+7＝10 ∴P（﹣3，10）

③若∠APC＝90°，取AC中点G，连接PG ∴G（

），PG＝AC＝

设P（﹣3，m）

∴PG2＝（﹣3+）2+（m﹣）2＝（解得：m1＝∴P（﹣3，

，m2＝）或（﹣3，＝

） ）2

综上所述，使以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形的点P坐标有（﹣3，﹣4），（﹣3，10），（﹣3，

），（﹣3，＝

）

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最大值，求一次函数解析式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点间距离公式．求二次函数指定自变量范围的最大值时，要考虑最大值对应的自变量是否在规定范围内．直角三角形的存在性问题要充分利用直角三角形的特征解题，是常考题型．