实验一：波形的分解与合成

宁波理工学院

机械工程测试技术基础

实践环节报告书

实验名称 实验一：信号的分解与合成 专业班级 机制124 姓 名 倪盼盼 学 号 3120611122

现代制造工程研究所2015.3

实验一 信号的分解与合成

一、实践目的

1、谐波分析是将周期函数展开为付氏级数，通过本实践环节熟悉常见信号的合成、分解原理，了解信号频谱的含义，加深对傅里叶级数理解；

2、认识非正弦周期信号幅频谱的实质，增强感性认识与了解； 3、认识吉布斯现象，了解吉布斯现象的意义。

二、实践原理

根据傅里叶分析的原理，任意周期信号都可以用一组三角函数{sin(n?0t);cos(n?0t)}的组合表示，即：

x(t)?a?acos(?t)?bsin(?t)?acos(2?t)?bsin(2?t)?......

010102020即可以用一组正弦波和余弦波来合成周期信号。

三、实践内容

1、方波的分解

下图所示方波为一奇对称周期信号，由傅里叶级数可知，它是由无穷个奇次谐波分量合成的，可以分解为:

1x(t)??sin(2?nft)?,n?1,3,5,7,9,??n?n?104A

图1、方波信号

若方波频率为f0?100Hz,幅值为1.5，请画出t?0s到t?0.1s这段时间内信号的波形。

a.画出基波分量y(t)?6?sin(?0t)，其中?0?2?f0。

b.将1次谐波加到基波之上，画出结果，并显示。

y(t)?6?6[sin(?0t)?sin(3?0t)/3]

c.再将1次、3次、5次、7次和9次谐波加在一起。

y(t)??[sin(?0t)?sin(3?0t)/3?sin(5?0t)/5?sin(7?0t)/7?sin(9?0t)/9]

d.合并从基频到9次谐波的各奇次谐波分量。

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e.将上述波形分别画在一幅图中，可以看出它们逼近方波的过程。

方波基频波形

方波三次谐波波形

方波五次谐波波形

图2 方波的1、3、5次谐波

2、方波的合成与吉布斯现象及其意义

图3为方波的合成示意图。周期信号傅里叶级数在信号的连续点收敛于该信号，在不连续点收敛于信号左右极限的平均值。如果我们用有限项傅里叶级数来近似周期信号，在不连续点附近将会出现起伏和超量。信号的低频分量主要影响脉冲的顶部，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿。

实际上，将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲）进行傅立叶级数展开后，当选取有限项进行合成时，是以有限项傅式级数去近似代替无限项傅氏级数，这样在不连续点附近会引起较大误差。这种现象称为吉布斯(Gibbs)效应。其特点是：

①当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点，合成波形越接近原波形；

②在所合成的波形中，波形顶部逐渐平坦，而跳变峰逐渐向间断点靠近；

③当选取的项数很大时，跳变峰所包面积趋于零，跳变峰高度趋于一个常数，大约等于间断点处幅值的9%。

吉布斯现象给人们一个启示：当从时域观察一个信号时，从波形变化的缓急程度就可以看出所包含的频率成分，即变化平缓的信号其频带窄，变化越快则频带越宽。在信号分析技术中，Gibbs现象是研究滤波器及窗函数的数学基础。

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A、基频分量 B、基频加3次谐波

C、前5次谐波相加 D、近似合成的方波（半周期）

图3 方波合成与吉布斯现象

四、实验报告要求

1、下述周期信号波形的幅值为10、频率1 Hz，计算各次谐波系数，写出三角函数形式的傅里叶级数展开式；【学号尾数1、6做b；2、7做c；3、8做d；4、9做e；5、0做f】 2、画出各次谐波曲线，然后合成原周期信号（使用软件不限），对比谐波项数不同时，合成波形的差异，画出合成波形的曲线图； 3、结合实验结果，分析吉布斯现象及其意义。

x (t) x (t)

a） （（b）

t t

x (t) x (t)

t （d） （ c） t

x (t) x (t)

t t （e） （f）

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