长方体和正方体，—能力培训

《长方体和正方体》能力培训

培训教师：刘新民

一、能力指导

例1. 一个正方体的6个面上分别写着A、B、C、D、E、F，根据下面的三种摆放情况，判断每个字母对面的字母是什么？

D E B F D A B C A （1） （2） （3） 分析与解答：直接判断一个字母的对面是什么字母比较难，根据“相邻的字母不可能相对”这一规律，可以先看与这个字母相邻的字母是什么字母，即这个字母的对面不可能是什么字母，从而推出这个字母的对面一定是什么字母。从（1）和（2）可以看出D的对面不可能是E、B、F、A，那么D的对面一定是C；同理根据（2）和（3）可以看出A的对面不可能是B、C、D、F，那么A的对面一定是E，再由（1）（3）可以看出B的对面不可能是C、D、E、A，那么B的对面一定是F。

例2. 如下图，四个完全相同的正方体木块并排放在一起，木块的6个面上各涂有不同的颜色，则与涂蓝色的面相对的那一面上是什么色？

黑 黄 绿 白 绿 黑 蓝 黄 绿 分析与解答：从左往右数，第一、四个正方体可以看出，绿色的相邻面是黑色，那么黑色在第四个正方体的后面或下面，又从第二、四来看，黄色与黑色是相邻面，所以黑色在第四个正方体的下面，再从第三、四个正方体来看，绿色和蓝色是相邻的面，那么蓝色在第四个正方体的后面，所以与涂蓝色的面相对的那一面上是黄色。

例3. 用两个相同的正方体木块拼成一个长方体，棱长之和是减少了24㎝，这两个正方体木块原来的棱长总和是多少？

分析与解答：两个相同的正方体木块拼成一个长方体后，减少了2个面，8条棱长，所以每条棱长是24÷8=3（㎝），那么原来两个相同的正方体一共有12×2=24（条）棱长，则这两个正方体木块原来的棱长总和是24×3=72（㎝）。

例4. 一个机器零件的形状如右图所示，如果要在零件的表面涂上一层防锈剂。涂防锈剂的面积是多少？（单位：㎝）

分析与解答：求涂防锈剂的面积实际就是求这个零件的表面 积。从上面、左面、右面看到的形状如下：

4 6 上面

4 8

6 左面

右面

8 6 8 4 从看到的形状来看，这三个面其实就是这个零件的三个侧面，所以涂防锈剂的面积就是这6个面的总面积，即（4×6+8×6+8×4）×2=208（㎝2）。

例5. 一个长方体，表面积是368㎝2，底面积是40㎝2，底面周长是36㎝，求这个长方体的体积。

分析与解答：根据长方体或正方体的体积的统一计算公式V=S底面h可知，要求长方体的体积，只要求出长方体的高，因为长方体的表面积等于侧面积加上两个底面积，所以长方体的侧面积是368-40×2=288（㎝2），又因为侧面积等于底面周长乘高，所以长方体的高为288÷36=8（㎝），故这个长方体的体积为40×8=320（㎝3）。

例6. 将一个长方体的高减少5㎝，就变成了正方体（如下图），正方体的表面积减少了60㎝2。原长方体的体积是多少立方厘米？

分析与解答：将一个长方体的高减少了5㎝，就变成了正方体，说明原来长方体的底面是正方形，从图上可以看出，减少的表面积就是截去部分4个侧面的面积，又因为侧面积=C

底面

5㎝

h，所以正方形的周长是60÷5=12（㎝），故正方形的边长

是12÷4=3（㎝），那么原来长方体的高为3+5=8（㎝），所以原长方体的体积是3×3×8=72（立方厘米）。

例7. 用125个棱长为1㎝的正方体拼成一个棱长为5㎝的正方体，要使正方体的棱长变为6㎝，则需要增加棱长为1㎝的正方体多少个？

分析与解答：因为棱长为6㎝的正方体的体积是6×6×6=216（㎝3），则需要216个棱长为1㎝的正方体，所以增加了216-125=91（个）

例8. 有甲、乙两个水箱，甲水箱长12dm，宽8dm，高5dm；乙水箱长8dm，宽8dm，高6dm。甲水箱装满水，乙水箱空着。现将甲水箱里的一部分水抽到乙水箱中，使两个水箱的高度一样。现在两个水箱的水面高多少分米？

分析与解答：可以把两个水箱并列放在一起看成一个水面高度相等的大水箱，大水箱里面水的体积应该和甲水箱里面水的体积是相等的，大水箱的底面积等于两个水箱底面积的和，甲水箱的体积是12×8×5=480（dm3），大水箱的底面积是12×8+8×8=160（dm2），则大水箱水面的高度为480÷160=3（dm），即现在两个水箱的水面高3分米。

例9. 一块长方形纸板，长30㎝，宽20㎝，在这张纸板的四个角上分别去掉边长为5㎝的小正方形，然后拼成一个无盖的纸盒。这个纸盒的容积是多少？ 分析与解答：要求长方体纸盒的容积，关键要求出该纸盒的长 宽、高。由图形可知这个纸盒的长是30-5×2=30（㎝），同样 宽为20-5×2=10（㎝），高是5㎝，所以这个纸盒的容积是 30×10×5=150（㎝3）。

例10. 一个长方体鱼缸，从里面量长是40㎝，宽是25㎝，高是15㎝。把一个棱长为8㎝的正方体花岗石放入鱼缸内，花岗石完全浸入水中（水未溢出）鱼缸内水面升高多少？

分析与解答：花岗石完全浸入水中，水面上升的那部分体积就可以看作一个长40㎝，宽25㎝的长方体，它的面积就是花岗石的体积，即8×8×8=512（㎝3），那么鱼缸内水面升高512÷40÷25=0.512（㎝） 二、能力训练。

1. 一个长方体木块被截成两个完全相同的正方体。两个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加了16㎝.求原来长方体的长是多少厘米。

2. 李叔叔做了一个木制框架，他想给木制框架涂红、绿两种颜色，使这个正方体每个面有且只有一条绿棱，李叔叔应该涂几条绿棱？几条红棱？

3. 一个正方体木块，把它分成3个大小相同的长方体后，变面积增加了36㎝2，这个木块原来的表面积是多少平方厘米？

4. 把4本同样长10㎝、宽7㎝、高5㎝的长方体《词典》摆放成一个大长方体，要使其变面积最小，应该怎样摆？最小表面积是多少平方厘米？

5. 如右图所示的立体图形是由9个棱长为1的立方块搭成的， 这个立体图形的表面积是多少？

6. 某果汁饮料厂原来用棱长是10㎝的正方体包装果汁，改进生产工艺后，把原来包装改成了棱长是5㎝的正方体，请你帮忙算一算，原来装200盒果汁饮料，现在要装多少盒？（包装盒厚度忽略不计）

7. 一个长方体的高如果增加2㎝，就成为一个正方体（如下图），这时的表面积比原来增加了48㎝2。这个长方体的体积是多少？