让数学课展开思维的翅膀

让数学课展开思维的翅膀

浅谈一题多解在数学教学中的作用

学科：数学

单位：大港区第八中学

姓名：施航宇

让数学课展开思维的翅膀

浅谈一题多解在数学教学中的作用

摘要：在数学教学过程当中，适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和创造性，从而培养学生的思维品质及思维能力。

前苏联学者茹科夫斯基指出：“数学里有诗画那样美的境界”。如果让每一位学生如观赏风景般地来学习数学，当然就其乐无穷，兴趣盎然。但传统的定势思维却在很大程度上禁锢了学生思维空间的拓展。让数学失去了生动性，增添了枯燥性。而注重思维多元化，提倡一题多解就可以克服此弊端，它可以有效地磨砺学生的思维，给他们自由思考的空间，在探索中提高思维的能力。下面就本人在教学中的体会谈谈“一题多解”在数学教学中的作用。

首先，一题多解有利于培养学生思维的广阔性。

思维的广阔性是指思维活动发挥作用的广阔程度，教学中，通过一题多解的练习，可使学生养成以不同的角度观察、思考，用不同的方法和观点去解决同一数学问题的习惯，从而扩充思维的领域，增加思维机遇，学生不满足已有方法而寻找新方法，这

2

有利于沟通知识间的联系，培养学生思维的广阔性。 例1：求函数y?3?sinx3?sinx的值域。

思路一：利用三角函数的有界性的方法 由y?23?sinx3?sinx，得：sinx?3(1?y)。?sinx?1，?3(1?y)1?y1?y2?1，解

之得：1?y?2。即所求函数的值域为：[1,2]

思路二：分离变量的方法

6?sinx?1，?2?3?sinx?4，3?sinx36161???3，??1??2。即所求函数的值域为：[,2]

223?sinx23?sinx由y?3?sinx3?sinx，得：y??1?思路三：利用导函数的方法 先证明函数y?3?sinx6????1?在[?,]上是减函数。故：

3?sinx223?sinx??????3?sin??3?sin???1?2??y??2?，[,2] 即：1?y?2。?所求函数的值域为：22??????3?sin???3?sin???2??2?由前三种解题方法中，通过以题带面复习了“函数的定义域、值域、性质”、“三角函数的有界性”等知识，加深了知识间的沟通，同时培养了学生解题的转化策略，体现了函数与方程的思想在数学中的作用。接着引导学生运用转化及数形结合的思想方法解题。

思路四：与解析几何建立联系，结合斜率公式，由

y?3?sinx3?sinx?3?sinx3?(?sinx)则

y可看成是由定点

A(3,3)与动点

B(?sixn,sixn)连线的斜率。显然，

B点在线段y??x(x?1)上，如图

1所示，可得：

3

11kAB1?，kAB2?2。??y?2

22即所求函数的值域为：[1,2]

2类似解法：可由y?3?sinx(3?sinx)?0,则y可看成是动点 ?3?sinx(3?sinx)?0C(3?sinx,3?sinx)与原点连线的斜率。而点C(2?y?4)上，故由图

在线段x?y?6

2可得：kOC21?2，kOC2?1，?1?y?2， 22即所求函数的值域为：[1,2]

通过一题多解，既能促使学生沟通知识点间的联系，又培养了学生的思维能力，从中学到了“转化策略、数形结合、函数与方程”等基本的数学思想。同时也让学生通过对比、小结，得出自己的体会，充分发掘自身的潜能，从而提高自己的解题能力，这不仅引导学生多方法，多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质，而且使学生感受到成功的喜悦和增强自信心，也极大地激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣，从而在很大程度上培养了学生思维的广阔性。

其次，一题多解有利于培养学生思维的灵活性和深刻性 思维的灵活性的指智力活动的灵活程度。思维灵活性的培养在解题教学中，主要表现为一题多解。即善于根据题设中的具体情况，及时地提出新的设想和解题方案，不固执己见，不拘泥于陈旧的方案。而思维的深刻性是指在灵活性的基础上，深刻领会解题的实质，掌握其一般规律。

例2：（2008年高考数学全国卷Ⅰ，文、理第10题）：

4