2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第四章 第6讲 正弦定理和余弦定理

利用三角函数的有关公式，结合三角形的面积公式及正、余弦定理，将问题转化为边或角的关系，利用函数或不等式是解决此类问题的一种常规方法．

[基础题组练]

1．(2020·湖北武汉调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝π

3b，A－B＝，则角C＝( )

2π

A. 12πC. 4

πB．

6πD．

3

πππ

B＋?＝cos B，解析：选B.因为在△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin??2?22因为a＝3b，所以由正弦定理得sin A＝3sin B，所以cos B＝3sin B，所以tan B＝ππ?πππ

因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－??6＋2?－6＝6，故选B. 6

2．(2020·江西上饶一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝(a＋b)2－c2，则tan C的值是( )

4

A. 34C．－

3

3B．

43D．－ 4

3，3

1

解析：选C.因为S＝absin C，c2＝a2＋b2－2abcos C，

2所以由2S＝(a＋b)2－c2，

可得absin C＝(a＋b)2－(a2＋b2－2ab·cos C)， 整理得sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，

（sin C－2cos C）2sin2C＋4cos2C－4sin Ccos C所以＝4，＝4，化简得3tan2C＋4tan C＝

sin2C＋cos2Csin2C＋cos2C0，

因为C∈(0，π)， 4

所以tan C＝－，故选C.

3

3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )

A．锐角三角形 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．不确定

解析：选B.因为bcos C＋ccos B＝asin A，所以由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝π

sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A.又sin(B＋C)＝sin A且sin A≠0，所以sin A＝1，所以A＝，

2所以△ABC为直角三角形，故选B.

4．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC＝( )

A.2 C.3 2

B．3 D．2

解析：选C.因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理得b2＝a2

13

＋c2－2accos B，得c＝2，所以由正弦定理得S△ABC＝acsin B＝，故选C.

22

33

5．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝2且2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于( )

A．5＋7 C．10＋7

B．12 D．5＋27

解析：选A.在△ABC中，∠A＝60°.因为2sin B＝3sin C，故由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝

331

＝bc·sin A，可得bc＝6，所以b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－22

2bc·cos A＝7，所以a＝7，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋7，故选A.

6．(2020·河北衡水模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且有a＝1，3sin Acos C＋(3sin C＋b)cos A＝0，则A＝________．

解析：由3sin Acos C＋(3sin C＋b)cos A＝0，得3sin Acos C＋3sin Ccos A＝－bcos －bab3

A，所以3sin (A＋C)＝－bcos A，即3sin B＝－bcos A，又＝，所以＝＝

sin Asin Bcos Asin B－

asin A135π

，从而＝－?tan A＝－，又因为0

7．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，π

B＝，则△ABC的面积为________．

3

π

解析：法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62

3π11

＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝acsin B＝

322

π

×43×23×sin ＝63.

3

π

法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2

3ππ

＋c2－2×2c×ccos ，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC

321

的面积S＝×23×6＝63.

2

答案：63 b7

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，

22b

b>c，则＝________．

c

bsin B

解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin AcosB－sin C－＝0.因为sin C＝sin(A

22sin B12π

＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos Asin B＝0，所以cos A＝－，即A＝.由

2237b

余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b>c，所以＝2.

2c

答案：2

9．(2020·河南郑州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的b2

面积为S，且满足sin B＝.

4S

(1)求sin Asin C；

(2)若4cos Acos C＝3，b＝15，求△ABC的周长． 1b2

解：(1)因为△ABC的面积为S＝acsin B，sin B＝，

24S1b

acsin B?×sin B＝b2，所以ac＝所以4×?， ?2?2sin2B

2

sin2B1

所以由正弦定理可得sin Asin C＝＝.

2sin2B21

(2)因为4cos Acos C＝3，sin Asin C＝，

2

131

所以cos B＝－cos(A＋C)＝sin Asin C－cos Acos C＝－＝－，

244（15）2b2b2

因为b＝15，所以ac＝＝＝＝8，

2sin2B2（1－cos2B）1??2×?1－16?所以由余弦定理可得

15＝a2＋c2＋

2

132

ac＝(a＋c)－ac＝(a＋c)－12， 22

解得a＋c＝33，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝33＋15.

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos

(1)求角B；

(2)若b＝27，tan C＝

3

，求△ABC的面积． 2

B．

解：(1)因为a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B，所以由余弦定理，得2accos B＝abcos A＋a2cos B，

又a≠0，所以2ccos B＝bcos A＋acos ＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin C，

1

又C∈(0，π)，sin C>0，所以cos B＝.

2π

因为B∈(0，π)，所以B＝.

3(2)由tan C＝32127，C∈(0，π)，得sin C＝，cos C＝，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin 277

327121321

×＋×＝. 272714

27×

321141

＝6，所以△ABC的面积为absin C

23

2

B．由正弦定理，得2sin Ccos B＝sin Bcos A

Bcos C＋cos Bsin C＝

abbsin A

由正弦定理＝，得a＝＝sin Asin Bsin B121

＝×6×27×＝63. 27

[综合题组练]

2a－ccos C1．(2020·安徽六安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，

bcos Bb＝4，则△ABC的面积的最大值为( )

A．43 C．2

B．23 D．3

2a－ccos C

解析：选A.因为在△ABC中，＝，

bcos B所以(2a－c)cos B＝bcos C，

所以(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，

所以2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C＝sin(B＋C)＝sin A，

1π

所以cos B＝，即B＝，由余弦定理可得16＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，

23所以ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，

13

所以△ABC的面积S＝acsin B＝ac≤43.故选A.

24