2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第四章 第6讲 正弦定理和余弦定理

第6讲 正弦定理和余弦定理

一、知识梳理

1．正弦定理和余弦定理

定理 正弦定理 abc＝＝＝2R sin Asin Bsin C(R为△ABC外接圆半径) a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； absin A＝，sin B＝， 2R2R变形形式 csin C＝； 2Ra∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； a＋b＋ca＝ sin A＋sin B＋sin Csin A2.三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角 b2＋c2－a2cos A＝； 2bcc2＋a2－b2cos B＝； 2caa2＋b2－c2cos C＝ 2ab余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 内容 图形 关系式 解的个数 a＝bsin A 一解 bsin Ab 一解 3.三角形中常用的面积公式 1

(1)S＝ah(h表示边a上的高)．

2111

(2)S＝bcsin A＝acsin_B＝absin C.

222

1

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

2常用结论

1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π； A＋BπC变形：＝－. 2222．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sin

A＋BC＝cos ； 22A＋BC

＝sin . 22

(4)cos

3．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos 二、教材衍化

1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( ) π

A. 62πC. 3

πB．

35πD．

6B．

解析：选C.因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理

b2＋c2－a29＋25－4912

得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝

2bc3023π.

2．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________． 234

解析：因为＝，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝

sin 60°sin B1

×2×23＝23. 2

答案：23

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.( )

(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( ) (3)在△ABC中，sin A>sin B的充分不必要条件是A>B.( )

(4)在△ABC中，a2＋b2

常见误区|Ｋ(1)利用正弦定理求角时解的个数弄错； (2)在△ABC中角与角的正弦关系弄错； (3)判断三角形形状时弄错．

1．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A．有一解 B．有两解 C．无解

D．有解但解的个数不确定

bc

解析：选C.由正弦定理得＝，

sin Bsin C340×

2bsin C

所以sin B＝＝＝3>1.

c20

所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在．

2．在△ABC中，若sin A＝sin B，则A，B的关系为________；若sin A>sin B，则A，B的关系为________．

解析：sin A＝sin B?a＝b?A＝B； sin A>sin B?a>b?A>B. 答案：A＝B A>B

3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________． 解析：由正弦定理，得sin Acos A＝sin BcosB， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， π

即A＝B或A＋B＝，

2

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案：等腰三角形或直角三角形

利用正、余弦定理求解三角形(多维探究) 角度一 求边长

(一题多解)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数

列，C＝120°.

(1)求边长a；

(2)求AB边上的高CD的长．

【解】 (1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，

a2＋b2－c2a2＋（a＋2）2－（a＋4）2

由余弦定理cos C＝得cos 120°＝，即a2－a－6

2ab2a（a＋2）＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.

(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7， 由三角形的面积公式得 11

absin ∠ACB＝c×CD， 22

3

3×5×2153absin ∠ACB

所以CD＝＝＝，

c714153

即AB边上的高CD＝.

14法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7， 377

由正弦定理得＝＝，

sin Asin ∠ACBsin 120°