第三章矩阵与线性代数计算

C = dot(A,B,dim) %在dim维数中给出A与B的点积 【例3－16】向量点积

X=[-1 0 2]； Y=[-2 -1 1]; Z=dot(X, Y) 则显示：

Z = 4 6．向量叉乘

在数学上，两向量的叉乘是一个过两相交向量的交点且垂直于两向量所在平面的向量。在Matlab中，用函数cross实现。

函数 cross

格式 C = cross(A,B) %若A、B为向量，则返回A与B的叉乘，即C=A3B，A、B必须是3个元素的向量；若A、B为矩阵，则返回一个33n矩阵，其中的列是A与B对应列的叉积，A、B都是33n矩阵。

C = cross(A,B,dim) %在dim维数中给出向量A与B的叉积。A和B必须具有相同的维数，size(A,dim)和size(B,dim)必须是3。 【例3－17】计算垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量。 a=[1 2 3]; b=[4 5 6]; c=cross(a,b) 结果显示： c=

-3 6 -3

可得垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量为±(-3, 6, -3) 7．混合积

混合积由以上两函数实现：

【例3－18】 计算向量a=(1, 2, 3)、b=(4, 5, 6)和c=(-3, 6, -3) 的混合积a?(b?c)

a=[1 2 3]; b=[4 5 6]; c=[-3 6 -3]; x=dot(a, cross(b, c))

结果显示：x = 54

注意：先叉乘后点乘，顺序不可颠倒。 8．张量积

函数 kron

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格式 C=kron (A,B) %A为m×n矩阵，B为p×q矩阵，则C为mp×nq矩阵。

?a11Ba12B?aBaB2122说明 A与B的张量积定义为：C?A?B???????am1Bam2BB?A均为mp×nq矩阵，但一般地A?B?B?A。

a1nB??a2nB??A?B与

?????amnB???123?12??【例3－19】 A?? B??456? 求A?B。 ????34???789??A=[1 2;3 4];B=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; C=kron(A,B) C =

1 2 3 2 4 6 4 5 6 8 10 12 7 8 9 14 16 18 3 6 9 4 8 12 12 15 18 16 20 24 21 24 27 28 32 36

3.4矩阵的行列式

1 矩阵转置

A=(aij) m×n 的转置矩阵在数学中记为A′=(aji) n×m

?a11A???a21??am1?a11A/???a12??a1n运算符：′

a12a22am2a21a22a2n??????a1n?a2n?? amn??am1?am2?? amn??运算规则：若矩阵A的元素为实数，则与线性代数中矩阵的转置相同。

若A为复数矩阵，则A转置后的元素由A对应元素的共轭复数构成。若仅希望转

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置，则用如下命令：A.′。 2 方阵的行列式

把行列式按第i行展开：

a11A?a21an1a12a22an2???a1na2n?ai1Ai1?ai2Ai2??ainAin ann其中Aij=(-1)i+jMij称为aij的代数余子式；而Mij是划去A中元aij所在的行及列得到的n-1阶子式，叫做aij的余子式。

函数 det

格式 d = det(X) %返回方阵X的多项式的值 【例3－20】行列式的值。

A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] A =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

D=det(A) D = 0 3． 矩阵的秩

子式：在（m,n）矩阵A中取某k个行，k个列，由这些行、列相交的元构成的k阶行列式，叫做A的k阶子式。

n阶矩阵只有一个n阶子式，叫做矩阵行列式。用︱A︱或detA表示。

矩阵的秩：矩阵A中不为零的子式的最高阶数如果是r，就说A的秩是r。常用r(A)表示。即矩阵A的秩是矩阵A中最高阶非零子式的阶数；而向量组的秩通常由该向量组构成的矩阵来计算。

n阶矩阵如果它的秩是n，叫做满秩矩阵，否则就是降秩矩阵。

一般矩阵A m×n中，如果r(A)=min(m,n)，称A为满秩阵，否则r(A)＜min(m,n)称A为降秩阵。

函数 rank

格式 k = rank (A) %求矩阵A的秩 k = rank (A,tol) %tol为给定误差

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【例3－21】求向量组?1?(1?223)，?2?(?24?13)，?3?(?1203)，

?4?(0623)，?5?(2?634)的秩，并判断其线性相关性。

A=[1 -2 2 3;-2 4 -1 3;-1 2 0 3;0 6 2 3;2 -6 3 4]; k=rank(A) 结果为 k = 3

由于秩为3 < 向量个数，因此向量组线性相关。

4．矩阵特征值和特征向量对n阶矩阵A，如果存在非0向量x满足线性方程组(A-λE)x=0，则称λ是矩阵A的特征值，x是A的对应于特征值λ的特征向量。对于每一个实对称矩阵A，总可将A转化为对角矩阵，其主对角线上的元素就是A的n个特征值。

[p,r]=eig(a)且 % eig=eigen（本征的，固有的） a为输入矩阵。r为特征值构成的对角阵。 p的各列为对应于特征值的特征向量构成的矩阵。

??211???【例3－22】求矩阵A??020?的特征值和特征向量

??413???A=[-2 1 1;0 2 0;-4 1 3]; [V,D]=eig(A) 结果显示： V =

-0.7071 -0.2425 0.3015 0 0 0.9045 -0.7071 -0.9701 0.3015

D =

-1 0 0 0 2 0 0 0 2

即：特征值-1对应特征向量(-0.7071 0 -0.7071)T

特征值2对应特征向量(-0.2425 0 -0.9701)T和(-0.3015 0.9045 -0.3015)T

??110???【例3－23】 求矩阵A???430?的特征值和特征向量。

?102???A=[-1 1 0;-4 3 0;1 0 2];

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