2020年江苏省连云港市高考数学模拟试卷(3月)含答案解析

【解答】解：∵已知f（x）=，故由不等式f（x）≥﹣1可得

①，或②．

解①可得﹣4＜x≤0，解②可得 0＜x≤2． 综上可得，不等式的解集为{x|﹣4≤x≤2}， 故答案为{x|﹣4≤x≤2}．

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，双曲线

﹣

=1（a

＞0，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线交于A、B两点（A，B异于坐标原点）．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是 y=±2x ． 【考点】抛物线的简单性质．

【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程可得A，B，再由A，B，F共线，可得

=，即有b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程．

【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），

双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，

代入抛物线的方程，可得A（由A，B，F三点共线，可得：

=，即有b=2a，

则双曲线的渐近线方程为y=±2x． 故答案为：y=±2x．

，），B（，﹣），

11．在△ABC中，A=120°，AB=4．若点D在边BC上，且长为 3 ．

【考点】解三角形；向量在几何中的应用．

【分析】画出图形，结合图形，利用=2，得出量的数量积求出||即可 【解答】解：如图所示：

=2，AD=，则AC的

﹣=2（﹣），再利用平面向

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△ABC中，∠BAC=120°，AB=4，点D在边BC上，∴=﹣， =﹣， ∴﹣=2（﹣）， ∴3=2+，

两边平方得92=42+4?+2， 又AD=∴9×（

， ）2=4

2

=2，

+4×|

|×4×cos120°+42，

化简得||2﹣2||﹣3=0，

解得||=3或||=﹣1（不合题意舍去）， 故答案为：3．

12．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为 [

] ．

【考点】圆的切线方程．

【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式求得答案． 【解答】解：如图，

B， 圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，使得∠APB=60°，

则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，

又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a﹣4）， ∴|PO|min=|MO|﹣1，|PO|max=|MO|+1， ∵∴由故答案为：[

]． ，

，解得：2

．

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13．已知函数f（x）=ax2+x﹣b（a，b均为正数），不等式f（x）＞0的解集记为P，集合Q={x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠?，则﹣的最大值是

．

【考点】空集的定义、性质及运算；交集及其运算．

【分析】根据不等式解集对应的关系，得到﹣2∈P，然后利用基本不等式进行求解即可． 【解答】解：∵不等式f（x）＞0的解集记为P，集合Q={x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，对于任意正数t，P∩Q≠?，

∴﹣2∈P，即f（﹣2）≥0， 则4a﹣2﹣b≥0，即1≤2a﹣； 又由题意知，﹣的最大值必是正数，

则﹣=（﹣）×1≤（﹣）×（2a﹣）=2﹣即﹣的最大值是． 故答案为：．

14．若存在两个正实数x、y，使得等式x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为 a＜0或a≥ ．

【考点】函数恒成立问题．

【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．

【解答】解：由x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得x+a（y﹣2ex）ln=0， 即1+a（﹣2e）ln=0， 即设t=，则t＞0，

则条件等价为1+a（t﹣2e）lnt=0，

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﹣+≤﹣2=，

即（t﹣2e）lnt=有解，

设g（t）=（t﹣2e）lnt， g′（t）=lnt+1﹣∵g′（e）=lne+1﹣

为增函数， =1+1﹣2=0，

∴当t＞e时，g′（t）＞0， 当0＜t＜e时，g′（t）＜0，

即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e， 即g（t）≥g（e）=﹣e， 若（t﹣2e）lnt=则

有解，

≥﹣e，即≤e，

则a＜0或a≥， 故答案为：a＜0或a≥．

二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知α为锐角，cos（α+（1）求tan（α+（2）求sin（2α+

）的值； ）的值．

）=

．

【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的正弦． 【分析】（1）利用同角的三角函数的关系式进行求解． （2）利用两角和差的正弦公式进行转化求解． 【解答】解（1）∵α为锐角， ∴0＜x＜∴

＜α+

， ＜）=）=

， ．

=

∵cos（α+∴sin（α+

则tan（α+）==2；

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