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函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质

(40分钟)

一、选择题 1.函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是( ) A.x=

B.x=

C.x=-

D.x=-

2.(2013·浙江高考)函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别

是( ) A.π,1 B.π,2 C.2π,1

D.2π,2 3.函数y=2cos

2

-1是( )

A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数

4.(2013·兰州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)

,其图象相邻的两条对称轴方程为x=0与x=,则( )

A.f(x)的最小正周期为2π,且在 (0,π)上为单调递增函数 B.f(x)的最小正周期为2π,且在(0,π)上为单调递减函数 C.f(x)的最小正周期为π,且在上为单调递增函数 D.f(x)的最小正周期为π,且在

上为单调递减函数

5.设函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0),条件p:“f(0)=0”;条件q:“f(x)为奇函数”,则p是q的( A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分必要条件

) 6.(2013·山东高考)将函数y=sin(2x +φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( ) A.

B.

C.0

D.-

二、填空题

7.(2013·江西高考)设f(x)=是 .

8.将函数y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的4倍,横坐标变为原来的2倍,然后把所得图象上的所有点沿x轴向左平移为 .

9.(2013·重庆高考)设0≤α≤π,不等式8x-(8sinα)x+cos 2α≥0对x∈R恒成立,则α的取值范围为 . 三、解答题 10.已知f(x)=sin

+sin

+2cosx-1,x∈R.

2

2

sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围

个单位长度,这样得到的曲线和函数y=2sinx的图象相同,则函数y=f(x)的解析式

(1)求函数f(x)的最小正周期. (2)求函数f(x)在区间

2

上的最大值和最小值.

,且f(0)=

,f

=.

11.已知函数f(x)=2acosx+bsinxcosx-(1)求f(x)的单调递减区间.

(2)函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象关于原点对称? 12.(2013·宿州模拟)已知函数f(x)=2

sinx-2cosx.

(1)若x∈[0,π],求f(x)的最大值和最小值. (2)若f(x)=0,求

答案解析

1.【解析】选C.函数f(x)=sin

的图象的对称轴是x-=kπ+,k∈Z,即x=kπ+

,k∈Z.当k=-1

.

时,x=-π+=-.

cos2x=sin2x+-1=cos

cos2x=sin

,所以A=1,T=π.

2.【解析】选A.f(x)=sinxcosx+3.【解析】选A.y=2cos=sin2x为奇函数,T=

2

=π.

,由题意知函数f(x)的周期为T=π,则ω=

=2,由x=0为

4.【解析】选C.f(x)=2sin

f(x)的对称轴,f(0)=2sin(??)且|φ|<知φ=-,因此,f(x)=2sin5.【解析】选A.f(0)=0,则tanφ=0,所φ=kπ(k∈Z),

?3=-2cos2x,故选C.

所以f(x)=tan(ωx+kπ)=tanωx(k∈Z),故f(x)为奇函数;而φ=时f(x)为奇函数,但是f(0)≠0, 故p是q的充分不必要条件.

6.【解析】选B.将函数y=sin(2x +φ)的图象沿x轴向左平移y=sin=

+kπ,k∈Z.

成中心对称,只需将原函数y=sin2x+

的图

=sin

个单位,得到函数

+kπ,k∈Z,即φ

,因为此时函数为偶函数,所以+φ=

【变式备选】为了使变换后的函数的图象关于点象( ) A.向左平移

个单位长度

B.向左平移个单位长度 C.向右平移

个单位长度

D.向右平移个单位长度 【解析】选C.函数y=sin近的对称中心为7.【解析】由于f(x)=≤a恒成立,则a≥2. 答案:[2,+∞)

的图象的对称中心为

,故只需将原函数的图象向右平移sin3x+cos3x=2sin

(k∈Z),其中离点

个单位长度即可.

≤2,要使|f(x)|

最

,则|f(x)|=2

8.【解析】本题只需将函数y=2sinx逆过来思考即可,即先将函数y=2sinx图象上的所有点向右平移个单位长度,再将纵坐标变为原来的,横坐标变为原来的即可. 答案:y=sin

2

9. 【解析】因为不等式8x-(8sinα)x+cos2α≥0对x∈R恒成立,所以 Δ=64sinα-32cos2α≤0, 即64sinα-32+64sinα≤0, 解得0≤sinα≤(0≤α≤π). 因为0≤α≤π,所以α∈答案:

∪

∪

.

2

2

2

10.【解析】(1)f(x)=sin2x·cos+cos2x·sin+ sin2x·cos- cos2x·sin +cos2x=sin2x+cos2x=

sin

,所以f(x)的最小正周期T=

=π.

(2)因为f(x)在区间上是增函数,在区间上是减函数,又

f=-1,f=,f=1,故函数f(x)在区间

=

,故a=

.

上的最大值为,最小值为-1.

11.【解析】(1)由f(0)=由f

=,得

+-2

,得2a-

=,所以b=1.

.

+2kπ,k∈Z,

可得f(x)==由得

cosx+sinxcosx-

cos2x+sin2x=sin+2kπ≤2x+≤+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z.

所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z).

(2)因为f(x)=sin2,所以由奇函数y=sin2x的图象向左平移个单位即得到y=f(x)的图象,故函

+π(k∈Z)个单位后,对应的函数即成为奇函数,

数f(x)的图象向右平移+π(k∈Z)个单位或向左平移图象关于原点对称.