2018年北京各城区高三摸底考试数学（理）试题及答案（精品9个城区）

的作用. 某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系，统计了2017年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如下表：

开盘价 收盘价 周一 164 164 周二 165 164 周三 170 169 周四 172 173 周五 a 170 （Ⅰ）已知这5天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求a的值；

（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，从这5天中随机选取3天，其中开盘价比当日收盘价低的天数记为?，求?的分布列及数学期望E?；

（III）在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这6天收盘价的方差最小.（只需写出结论）

（17）（本小题14分）

如图，在四棱锥E?ABCD中，平面ADE?平面ABCD,

O,M分别为线段AD,DE的中点．四边形BCDO是边

为1的正方形，AE?DE，AE?DE. （Ⅰ）求证：CM//平面ABE；

（Ⅱ）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；

（III）点N在直线AD上，若平面BMN?平面ABE，求线段AN的长.

（18）（本小题13分） 已知函数f(x)?长

131x?x?xlnx. 621e（Ⅰ）求曲线y?f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)

（19）（本小题14分）

x2y22已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率等于，经过其左焦点F(?1,0)且与x轴

ab2不重合的直线l与椭圆C交于M,N两点．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) O为原点，在x轴上是否存在定点Q，使得点F到直线QM，QN的距离总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

（20）（本小题13分）

已知数列A:a1,a2,?,an(n?2) 满足ai?N且1?ai*?i(i?1,2,?,n)，数列

B:b1,b2,?,bn(n?2)满足bi??(ai)?1(i?1,2,?,n)，其中?(a1)?0，?(ai)(i?2,3,?,n)表示

a1,a2,?,ai?1中与ai不等的项的个数.

（I）数列A：1，1，2，3，4，请直接写出相应的数列B； （II）证明：bi?ai(i?1,2,?,n)；

（III）若数列A相邻两项均不等，B与A为同一个数列，证明：ai?i(i?1,2,?,n).

东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）C （3）D （4）B

（5）B （6）C （7）A （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）?1 （10）40 （11）20 （12）(1,??) （13）1，x2?y2?2等 （14）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

解:（Ⅰ）因为a?2，2sinA?sinC，由正弦定理

2?，②④ 3ac?，得c?4． sinAsinC1322（Ⅱ）由cos2C?2cosC?1??，得cosC?.

48 因为0?C?6?，得cosC?． 246210. )?44所以sinC?1?(方法一：

因为2sinA?sinC，所以sinA?所

所以S?ABC?方法二：

1036,cosA?. 88以

sinB?sin[??(A?C)]?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC??1063610???848415.41acsinB?15． 22222由余弦定理c?a?b?2abcosC，得b?6b?12?0，

解得 b?26或b??6（舍）． 所以S?ABC?

（16）（共13分）

解：（I）由于收盘价的中位数为169，且开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，所以a=169.

1absinC?15． 2（II）由于只有周四和周五的开盘价比其收盘价低，所以?的所有可能取值为0,1,2.

3112C3C32?C2C3?C2133P(??0)?3?，P(??1)??，P(??2)??. 33510C510C5C5所以?的分布列为 ? 0 1 101 3 52 3 101336?1??2??. 105105P 故?的数学期望E??0?（III）168.

（17）（共14分） 证明：

（Ⅰ）取线段AE中点P.连接BP、MP. 因为点M为DE中点，所以MP//AD，MP?1AD. 2又因为BCDO为正方形，所以BC//AD，BC=AD，所以

BC//MP，BC?MP.

所以四边形BCMP为平行四边形，所以CM//BP. 因为CM?平面ABE，BP?平面ABE， 所以CM//平面ABE. （Ⅱ）连接EO.

因为AE?DE，O为AD中点，所以EO?AD.. 因为EO?平面ADE，平面ADE?平面ABCD， 平面ADE?平面ABCD?AD所以 EO?OB,EO?OD 又因为正方形BCDO，所以OB?OD. 如图所示，建立空间直角坐标系O?xyz.

?11?A?0,?1,0?，B?1,0,0?，C?1,1,0?，D?0,1,0?，E?0,0,1?，M?0,,?.

?22???ABEm设平面的法向量为??x,y,z?，

????????AB??1,1,0?，AE??0,1,1?，则有 ???????AB?m?0,?x?y?0,???????? 即 ?y?z?0.???AE?m?0.??令y??1，则x?z?1，即平面ABE的一个法向量为m??1,?1,1?.