高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(一)学案新人教A版必修5

解 方法一 由余弦定理b＝a＋c－2accos B得 (3)＝a＋3－2×a×3×cos 30°， ∴a－33a＋6＝0，∴a＝3或a＝23. 当a＝3时，a＝b，∴A＝30°，∴C＝120°； 当a＝23时，由正弦定理得 sin A＝

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222

asin B23sin 30°＝＝1， b3又∵A∈(0°，180°)，∴A＝90°，C＝60°.

∴C＝60°，A＝90°，a＝23或C＝120°，A＝30°，a＝3. 方法二 由bcsin 30°知本题有两解．

13×2csin B3由正弦定理，得sin C＝＝＝，

b23∴C＝60°或120°.

当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理得a＝b2＋c2＝23； 当C＝120°时，A＝30°＝B，∴a＝3.

∴C＝60°，A＝90°，a＝23或C＝120°，A＝30°，a＝3.

1．在△ABC中，符合余弦定理的是( ) A．c＝a＋b－2abcos C B．c＝a－b－2bccos A C．b＝a－c－2bccos A D．cos C＝答案 A

解析 由余弦定理及其推论知只有A正确．

2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝，则b＝( )

A.2 B.3 C．2 D．3 答案 D

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a2＋b2＋c2

2ab235 / 7

??22

解析 由余弦定理，得5＝b＋2－2×b×2×，解得b＝3?b＝－舍去?，故选D.

??3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则( ) A．a>b B．a

D．a与b的大小关系不确定 答案 A

解析 cos 120°＝∴b＝

2313a2＋b2－c2a2＋b2－2a21＝＝－，

2ab2ab25－1a

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4．在△ABC中，若a＋b－c＝ab，则角C的大小为________． 答案

π 3a2＋b2－c2ab1＝＝，

2ab2ab2π3解析 cos C＝

又B∈(0，π)，∴B＝.

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝________． 答案 π

56解析 cos B＝

a2＋c2－b21＋3－73＝＝－，

2ac22×1×356又B∈(0，π)，∴B＝π.

1.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．

(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．

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2．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：

(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．

(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解．

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