高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理（一）学案新人教A版必修5

1．1.2 余弦定理(一)

[学习目标] 1.掌握余弦定理的内容与推论及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

知识点一 余弦定理及其证明 1．余弦定理的表示及其推论

文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 a2＝b2＋c2－2bccos__A， 符号语言 b2＝a2＋c2－2accos__B， c2＝a2＋b2－2abcos__C cos A＝b2＋c2－a2， 2bca2＋c2－b2， 2aca2＋b2－c2 2ab推论 cos B＝cos C＝2.余弦定理的证明

(1)课本上采用的证明方法：

如图，设a＝CB，b＝CA，c＝BA，则c＝b－a，

∴|c|＝c·c＝(b－a)＝a－2a·b＋b＝a－2abcos__C＋b， ∴c＝a＋b－2abcos C. (2)利用坐标法证明

如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(ccos__A，csin__A)，C(b，0)(写出三点的坐标)．

∴a＝BC＝（ccos A－b）2＋（csin A－0）2 ＝c2－2bccos A＋b2， ∴a＝b＋c－2bccos A.

思考1 在△ABC中，若a＝b＋bc＋c，则A＝________． 答案

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→→→2π 31 / 7

解析 由题意知，cos A＝又A∈(0，π)，∴A＝

b2＋c2－a2bc1＝－＝－，

2bc2bc22π. 3思考2 勾股定理和余弦定理的联系与区别？

答案 二者都反映了三角形三边之间的平方关系，其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例． 知识点二 用余弦定理解三角形的问题 利用余弦定理可以解决以下两类问题： (1)已知两边及其夹角解三角形； (2)已知三边解三角形．

思考 已知三角形的两边及一边的对角解三角形，有几种方法？ 答案 不妨设已知a，b，A， 方法一 由正弦定理

ab＝可求得sin B，进而得B，C，最后得边c. sin Asin B2

2

2

方法二 由余弦定理a＝b＋c－2bccos A得边c，而后由余弦或正弦定理求得B，C.

题型一 已知两边及其夹角解三角形

例1 在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求角A，B和边c的值(cos 15°＝

6＋26－2，sin 15°＝)． 44解 由余弦定理知c＝a＋b－2abcos C ＝4＋8－2×2×22×

2

2

2

6＋2＝8－43， 4∴c＝8－43＝（6－2）2＝6－2.

由正弦定理得sin A＝asin Casin 15°＝＝cc2×6－241＝， 26－2∵b>a，∴B>A，∴A＝30°，∴B＝180°－A－C＝135°， ∴c＝6－2，A＝30°，B＝135°.

反思与感悟 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法

(1)先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．

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(2)用正弦定理求解时，需对角的取值根据“大边对大角”进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(因为在(0，π)上，余弦值对应的角是唯一的)，故用余弦定理求解较好． 跟踪训练1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝

1，则c等于( ) 3A．4 B.15 C．3 D.17 答案 D

解析 由三角形内角和定理可知cos C＝－cos(A＋B)＝－，又由余弦定理得c＝a＋b－2abcos C＝9＋4－2×3×2×(－)＝17，所以c＝17. 题型二 已知三边(或三边的关系)解三角形

例2 在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求A，B，C. 解 根据余弦定理，cos A＝

13222

13b2＋c2－a2

2bc＝（6＋23）2＋（43）2－（26）23＝. 22（6＋23）（43）π6∵A∈(0，π)，∴A＝，

cos C＝

a2＋b2－c2（26）2＋（6＋23）2－（43）22＝＝，

2ab22×26×（6＋23）π4∵C∈(0，π)，∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－ππ7＝π， 6412π4∴A＝，B＝π，C＝. 反思与感悟 已知三边(或三边的关系)解三角形的方法

(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为0，角为直角；值为负，角为钝角．

(2)方法一：两次运用余弦定理的推论求出两个内角的余弦值，确定两个角，并确定第三个角．

方法二：由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小．

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(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解． 跟踪训练2 将例2中的条件改为“a∶b∶c＝26∶(6＋23)∶43”，求A，B，C. 解 ∵a∶b∶c＝26∶(6＋23)∶43，

bc＝，

266＋2343a不妨设＝k，则a＝26k，b＝(6＋23)k，c＝43k，

26即

＝下同例题解法．

题型三 已知两边及其中一边的对角解三角形

例3 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝23，b＝6，A＝45°，求边c.

解 方法一 在△ABC中，根据余弦定理可得

aa2＝b2＋c2－2bccos A，即c2－23c－6＝0，

所以c＝3±3. 又c>0，所以c＝3＋3.

方法二 在△ABC中，由正弦定理得

221bsin Asin B＝＝＝，

a2236×因为b

又B∈(0°，180°)，所以B＝30°， 所以C＝180°－A－B＝105°，

所以sin C＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝

6＋2， 4asin C＝sin A23×6＋2422故c＝＝3＋3.

反思与感悟 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法

可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后利用正弦定理求出第三边．

跟踪训练3 已知在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，解此三角形．

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