2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系练习理北师大版

高考总复习

第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

[基础题组练]

1．(2020·江西上饶一模)直线ax－by＝0与圆x＋y－ax＋by＝0的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离

D．不能确定

2

2

2

2

2

2

?a??b?a＋b，所以圆心坐标为解析：选B.将圆的方程化为标准方程得?x－?＋?y＋?＝

4?2??2?

22

a2＋b2?a，－b?，半径r＝a＋b.因为圆心到直线ax－by＝0的距离d＝

＝＝r，?22?22??a2＋b2

?a＋b?

?22???

22

所以直线与圆相切．故选B.

2．圆(x－3)＋(y－3)＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( ) A．1 C．3

B．2 D．4

2

2

|9＋12－11|

解析：选C.因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线

5与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．

3．(2020·湖南十四校二联)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x＋y＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为( )

A.6或－6 C.6

B．5或－5 D．5

2

2

2

2

解析：选B.因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x＋y＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得

|a|1＋（－2）

2

2

＝1，所以a＝±5，故选B.

2

2

4．已知圆O1的方程为x＋(y＋1)＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为( )

A．(x－2)＋(y－1)＝6 B．(x－2)＋(y－1)＝22

1

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2

2

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C．(x－2)＋(y－1)＝6或(x－2)＋(y－1)＝22 D．(x－2)＋(y－1)＝36或(x－2)＋(y－1)＝32

解析：选C.设圆O2的方程为(x－2)＋(y－1)＝r(r>0)．因为圆O1的方程为x＋(y＋|r－14|

1)＝6，所以直线AB的方程为4x＋4y＋r－10＝0，圆心O1到直线AB的距离d＝，

42

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2222

（r－14）222

由d＋2＝6，得＝2，所以r－14＝±8，r＝6或22.故圆O2的方程为(x－2)

32

2

2

22

＋(y－1)＝6或(x－2)＋(y－1)＝22.

5．(2020·广东湛江一模)已知圆C：(x－3)＋(y－3)＝72，若直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m＝( )

A．2或10 C．4或6

2

2

2

222

B．4或8 D．2或4

2

解析：选B.圆C：(x－3)＋(y－3)＝72的圆心C的坐标为(3，3)，半径r＝62， 因为直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点， 所以圆心到直线的距离为2， |6－m|

则有d＝＝2，

1＋1解得m＝4或8，故选B.

→→

6．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝3，则OA·OB＝________．

→→解析：在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝3，可得∠AOB＝120°，所以OA·OB＝1

1×1×cos 120°＝－.

2

1

答案：－

2

7．已知圆C：(x－1)＋(y－2)＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________．

解析：记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|＝|CB||2×1－2＋b|＝2可知，圆心C(1，2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是

5＝1，解得b＝±5.

答案：±5

8．(2020·广东天河一模)已知圆C的方程为x－2x＋y＝0，直线l：kx－y＋2－2k＝0与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的斜率k＝________．

2

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2

2

2

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解析：由x－2x＋y＝0，得(x－1)＋y＝1，则圆的半径r＝1，圆心C(1，0)， 直线l：kx－y＋2－2k＝0与圆C交于A，B两点， 当CA与CB垂直时，△ABC面积最大，

此时△ABC为等腰直角三角形，圆心C到直线AB的距离d＝则有|2－k|1＋k＝2

2

，解得k＝1或7. 2

2， 2

2222

答案：1或7

9．圆O1的方程为x＋(y＋1)＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1)． (1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；

(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程． 解：(1)因为圆O1的方程为x＋(y＋1)＝4， 所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.

设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2. 又|O1O2|＝（2－0）＋（1＋1）＝22， 所以r2＝|O1O2|－r1＝22－2.

所以圆O2的方程为(x－2)＋(y－1)＝12－82. (2)设圆O2的方程为(x－2)＋(y－1)＝r2， 又圆O1的方程为x＋(y＋1)＝4，

相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r2－8＝0. 设线段AB的中点为H，

因为r1＝2，所以|O1H|＝r1－|AH|＝2. |4×0＋4×（－1）＋r2－8||r2－12|

又|O1H|＝＝， 22

4＋442|r2－12|22

所以＝2，解得r2＝4或r2＝20.

42

所以圆O2的方程为(x－2)＋(y－1)＝4或(x－2)＋(y－1)＝20.

10．已知抛物线C：y＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

(1)证明：坐标原点O在圆M上；

(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程． 解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.

??x＝my＋2，2由?2可得y－2my－4＝0，则y1y2＝－4. ?y＝2x?

2

2

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2

2

2

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2

22

2

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2

2

2

2

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（y1y2）

又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.

224

y21y22

2

y1y2－4

因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆Mx1x24

上．

(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m＋4. 故圆心M的坐标为(m＋2，m)，圆M的半径

2

2

r＝（m2＋2）2＋m2.

→→

由于圆M过点P(4，－2)，因此AP·BP＝0， 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.

12

所以2m－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.

2

当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为10，圆M的方程为(x－3)＋(y－1)＝10.

1?1?9

当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为?，－?，圆M的半径为

2?2?49?2?1?28585?，圆M的方程为?x－?＋?y＋?＝.

4?4??2?16

[综合题组练]

1．(2020·安徽马鞍山二模)在平面直角坐标系xOy中，若圆C：(x－3)＋(y－a)＝4上存在两点A，B满足：∠AOB＝60°，则实数a的最大值是( )

A．5 C.7

B．3 D．23

2

2

2

2

解析：选C.根据题意，圆C的圆心为(3，a)，在直线x＝a上， 分析可得：当圆心距离x轴的距离越远，∠AOB越小，

如图：当a>0时，圆心C在x轴上方，若OA、OB为圆的切线且∠AOB＝60°，此时a取得最大值，

此时∠AOC＝30°，

有|OC|＝2|AC|＝4，即(3－0)＋(a－0)＝16，

4

2

2