2012年7月线性代数考前练习题及答案（试卷 答案）

线性代数试题答案

（课程代码：02198）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1. B 2. B 3. D 4. B 5. A 6. A 7. D 8. C 9. D 10. C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11. ? 12. 2 13. 4 14. (1,?4,?13) 15. m 16. -10 17. 1 18. 1，1，-l

22219. E 20. z1?z22?z3?z4

23三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1221. 解：D??0021101021012100?3?2??101220010?3?20?3?240??121??12?3 10120102 ??34?5 1?322. 解：(A?E)X?A2?E,

?001??可逆（因det(A)??1?0）, A?E??010????100???201??。 030所以，X?(A?E)?1(A2?E)?(A?E)?1(A?E)(A?E)?A?E?????102??

23. 解:对矩阵A施行初等行变换

?1?2?1?000A?????032??0962??6?2?8?2??3?2?0

2??8?3?=B. 3?1??00?02??1?2?10?1?2?1???0328?3032??????????000?0006?2?????000?217??000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.

（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是

B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。

（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）。 24. 解：（1）由题意 秩(A)?3

?11?A??1??11?111??1111?????1???0??10?2?

??1?0??1?2???0??所以当??1时，秩(A)?3，这时齐次线性方程组的基础解系中只有一个解向量。 （2）当??1时

?1110??? A??0001?

?0000??? 通解为

??1???1??????1??0?x?k1???k2??，k1，k2为任意常数。

01?????0??0?????

25. 解:A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为 ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.

?25/5??25/15?????经正交标准化，得η1=??5/5?，η2=?45/15?.

???5/3???0??????λ=-8的一个特征向量为

?1??1/3?????ξ3=?2?，经单位化得η3=?2/3?.

??2???2/3??????25/5215/151/3???所求正交矩阵为 T=??5/545/152/3?.

???0?5/3?2/3???100???对角矩阵 D=?010?.

?00?8????25/5215/151/3???（也可取T=?0?5/32/3?. ）

??5/5?45/15?2/3????26. 解：此二次型对应的矩阵为

?5?13???A???15?3?， ?3?3c??? 因 秩(A)?2，故A?24(c?3)?0，c?3。

??51?33

??3 这时，?E?A?1?3??53 ??(??4)(??9)

所以特征值为?1?9，?2?4，?3?0。

其标准形为f?9y12?4y22。

四、证明题（本大题共1小题，6分） 27. 证：由于A*?AA?1，及A?1?A

?1

所以，(A*)?1?(AA?1)?1?A(A?1)?1?A?1A.

?1