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全国2012年7月高等教育自学考试考前练习题
线性代数试题
（课程代码：02198）
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，aT表示向量a的转置，E表示单位矩阵，
det(A)表示方阵A的行列式A表示矩阵A的逆矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，
-1
*
A表示方阵A的行列式，R(A)表示矩阵A的秩,a表示a的长度。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 对任意n阶方阵A、B总有( )
A. AB?BA B. AB?BA C. (AB)T?ATBT D. (AB)2?A2B2 2. 设矩阵
?1??3 A. ?0??0???100??020A=???，则???003?A-1等于（ ）
??1?B. ?0???0??0??0??1??3?0120?0??0??1???
0120
?1?00??3? C. ? 010??1???00?2??
?1??2D. ?0??0???00??1?03?01???
3. 设A，B是同阶正交矩阵，则下列命题错误的是（ ） ．．
A. A?1也是正交矩阵 B. A*也是正交矩阵 C. AB也是正交矩阵 D. A?B也是正交矩阵
4. 设n阶方阵A满足A2?0，则必有（ ）
A. A?E不可逆 B. A?E可逆 C. A可逆 D. A?0 5. 设有m维向量组(I)：a1,a2,?,an，则 ( ) A. 当m?n时，(I)一定线性相关 B. 当m?n时，(I)一定线性相关 C. 当m?n时，(I)一定线性无关 D. 当m?n时，(I)一定线性无关
6. 若向量组（Ⅰ）：?1,?2,?,?r可由向量组（Ⅱ）：?1,?2,?,?s线性表示，则必有（ ）A. 秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ） B. 秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ） C. r≤s D. r>s
7. 设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC. 则（ ） A. A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同
8. 设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的
是( )
A. Ax?2x B. A?1x?1?x 2C. A?1x?2x D. A2x?4x 9. 设A是n阶正定矩阵，则二次型xT(-A)x（ ）
A. 是不定的 B. 当n为奇数时是正定的
C. 当n为偶数时是正定的 D. 是负定的 10. 下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A. ??23???34? B. ??34???26?
?100?? C. ??02?3????0?35?
?111??D. ??120????102?
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11. 已知A，B为n阶矩阵，A=2，B=－3，则ATB?1=_________________. 12. 设A为2阶方阵,且|A|=1,则|2A*|=___________.
213. 设2阶方阵A?[?1,?]，B?[?2,?]，其中?1，?2，?均为2维列向量，且
A?B?1，则A?B?___________。
14. 设??(2,1,?2))，??(1,2,3)，则2??3??________。
15. 设m?n矩阵A的，m个行向量线性无关，则矩阵AT的秩为________。 16. 设?1??1,2,2,?1?T，?2??1,1,?5,3?T，则?1与?2的内积 （?1,?2）＝________________.
?x1?2x3?t17. 方程组??x2?x3?0 有解的充分必要条件是
?x?2x?12?1t=_____________.
?001??，则A的全部特征值为_______. 01018. 设矩阵A??????100??19. 设n阶矩阵A的n个列向量两两正交且均为单位向量,则ATA=_____________. 20. 设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
2121. 计算行列式D?00121001210012.
?101??，矩阵X满足方程AX?E?A2?X求矩阵X. 02022. 设A??????101??23. 设矩阵
?1?2?1??242A=??2?10??3332??6?6?. 23??34?0求：（1）秩（A）；
（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。
?x1?x2?x3?x4?0,24. 给定齐次线性方程组??x1??x2?x3?x4?0,
?x?x??x?x?0.234?1（1）当λ满足什么条件时，方程组的基础解系中只含有一个解向量？ （2）当λ＝1时，求方程组的通解. 25. 设矩阵
?0?22??A=???2?34???4?3??2的全部特征值为1,1和-8. 求正交矩阵T和对角矩阵D，
使T-1AT=D.
2226. 已知二次型f(x1,x2,x3)=5x1?5x22?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2,求参数c
及二次型经正交变换化成的标准形(不必写出正交变换). 四、证明题（本大题共1小题，6分） 27. 设矩阵A可逆，证明(A*)?1?A?1A
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