学×思面授班初三数学 春季 目标班讲义 第1讲.二次函数图像特征与变换.目标班.学生版

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二次函数图象特征与

变换

满分晋级阶梯

函数14级

二次函数实际应用

函数15级

二次函数图象特征与变换

函数16级

方程与函数思想

暑期班第三讲 秋季班第一讲 秋季班第二讲

中考内容与要求

中考内容 A 能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象 二次函数 中考要求 B 能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 C 能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题

二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。

中考考点分析

这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。

年份 题号 分值 2011年 7，8，23 11分 抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根） 2012年 8，23 11分 函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围

2013年 10，23 9分 二次函数函数图象的性质；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数图像的对称性 考点 知识互联网

题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系

思路导航

图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为y?ax2?bx?c（或y?a(x?h)2?k）（a?0），则： 开口方向 对称轴 顶点坐标 ?a?0?向上，a越大，开口越小． ?a?0?向下?b（或x?h）． x??2a4ac?b2b)或(h，k)． (?，4a2a 当a?0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大（如图1）； 单调性 当a?0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小（如图2） ① 与y轴的交点：?0，c?； 与坐标轴的交点 ② 与x轴的交点：?x1，0?，?x2，0?，其中x1，x2是方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根． ① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴有两个交点． ② 当??0时，图象与x轴只有一个交点． ③ 当??0时，图象与x轴没有交点． Ⅰ）当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0； Ⅱ）当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0． 图象与x轴的交点个数

【引例】 二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，判断a，b，c，b2?4ac，2a?b，a?b?c，

2例题精讲

a?b?c的符号

【解析】 由图知：图象开口向上，所以a?0；

b函数的对称轴x???0，所以b?0；

2a函数图象与y轴的交点小于0，所以c?0；

函数图象与x轴有两个不同的交点，所以b2?4ac?0；

b同时x???1，所以2a?b?0；

2ax?1所对应的函数值小于0，所以a?b?c?0； x??1所对应的函数值大于0，所以a?b?c?0

典题精练

2【例1】 ⑴ 设b＞0，二次函数y?ax?bx?a2?1的图象为下列之一，则a的值为（ ）

A．?1?5?1?5 B． C．?1 D． 1 22yyyyO-1O1x-1O1x12xO12x

⑵ 二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则一次函数y?bx?b2?4ac与反比例函

a?b?c数y?在同一坐标系内的图象大致为（ ）

xyyyyy-1O1xOxOxOxOxABCD

2⑶ 若二次函数y?ax?bx?c的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴的

?c?正半轴，则点P?a,?在（ ）

?b?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例2】 ⑴二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，已知OB?2OA，

yBOA＜OC，则a，b，c满足的关系式是

⑵ 如图，抛物线y?ax2?bx?c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，1若OB?OC?OA，则b的值为 ．

2 AOCxyCAOBx

【例3】 (1) 已知二次函数y?ax2?bx?c满足：⑴a＜b＜c； ⑵a?b?c?0；⑶图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ①a?0；②a?b?c?0；③c?0；④a?2b?0；⑤?

(2) 已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图所示，有下列8 个结论：①abc?0；②b?a?c；③4a?2b?c?0；④2c?3b；

b1＜ 2a4