浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试文数

浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试

高三数学试卷（文科）（一模）

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．若集合A??0,m?,B??1,2?,A?B??1?，则实数m? 1 .

2．已知二元一次方程组?a?11?1x?b1y?c1??b的增广矩阵是??1?，则此方程组的解是?a?2x2y?c2?113???x?2??y?1.

3．函数y?log2(x?2)的定义域为 [3,??) .

4．已知x,y?R，且x?4y?1，则x?y的最大值为 116 . 5．函数y?1?x（x?0）的反函数是 y?(x?12)（x?1） .

6．函数f(x)?2sin????x??cos????x??4?的最小正周期为 ? . ?4??7．等差数列?an?中，a6?a7?a8?12，则该数列的前13项的和S13? 52 . 8．已知数列?an?是无穷等比数列，其前n项和是Sn，若a2?a3?2，a3?a4?1，

则limS16 .n??n的值为

3

?2x?y?09．已知实数x,y满足约束条件??x?3y?5?0，则z?x?y的最小值等于 ?1 .

??y?110．若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 8? cm2.

n11．二项式??x?1?的展开式前三项系数成等差数列，则n? 8 .

?2x??12．如图所示，已知一个空间几何体的三视图， 则该几何体的体积为 2??233 .

????????????????13．非零向量OA与OB，对于任意的t?R,OA?tOB的最小值的几何意义

主视图俯视图左视图为点A到直线OB的距离 .

14．1,2,3,4,5共有5!种排列a1,a2,a3,a4,a5，其中满足“对所有k?1,2,3,4,5 都有ak?k?2”的不同排列有 54 种. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

15．已知△ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b， 则“A?B”是“acosA?bcosB ”的（ A ）

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条

件

16．已知函数f(x)?(A) ?1214?2x，若函数y?f(x?1412)?n为奇函数，则实数n为（ B ）

14 (B) ? (C) (D) 0

17．若x1，x2，x3,?，x2013的方差为3，则3x1，3x2，3x3,?，3x2013的方差为（ D ）

[来源:Z。xx。k.Com]

(A)3 (B)9 (C)18 (D)27

18．定义域为

?a,b?的函数y?f(x)图象的两个端点为A,B，向量

????????????， BON??O?A(1??)O M(x,y)是f(x)图象上任意一点，其中x??a?(1??)b,???0,1?. 若不等式MN?k恒成立，

则称函数f(x)在?a,b?上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．

下列定义在?1,2?上函数中，线性近似阀值最小的是 （ D ）

(A)y?x (B)y?22x?1 (C)y?sinx (D)y?x?

3x三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

?如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC?AA1?2,?ABC?45.

A1c1B1（1）求直三棱柱ABC?A1B1C1的体积；

ADCB（2）若D是AC的中点，求异面直线BD与A1C所成的角. 解：（1）V?12?2?2?2?4；?????????????6分

（2）设M是AA1的中点，连结DM,BM，?DM//A1C,

??BDM是异面直线BD与A1C所成的角.???8分

在?BDM中，BD?BM?225,MD?22，

cos?BDM??5???2???5?2?2?51010?1010.?????????????10分

1010即?BDM?arccos.?异面直线BD与A1C所成的角为arccos.????

12分

20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知复数z1?2sin??3i,z2?1?(2cos?)i,???0,??.

（1）若z1?z2?R，求角?； 值范围. 解

：

（

1

????????????????????（2）复数z1,z2对应的向量分别是OZ1,OZ2,其中O为坐标原点，求OZ1?OZ2的取

3i)?1?(2cos?)i?

）

z1?z2?(2sin??=(2sin??23cos?)?(2sin2??323)i?R??2分

?sin2????????????4分

?323 又 ?0?2??2?，?2??（2）OZ1?(2sin?，? OZ1?OZ ???32或?， ????6或?3???????6分

3），OZ2?（1,2cos?)

?2sin??23cos? ?4sin(???3?2?32?3)?????????10分

???，

??23,4???14分

[来源:学科网ZXXK]??23?4sin(???3)?4?OZ1?OZ??21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N

?在AB上，且P点在斜边BC上，已知?ACB?60且|AC|?30米，AM=x，x?[10,20].

[来源学§科§网Z§X§X§K]

（1）试用x表示S，并求S的取值范围；

37kS（2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为，再把矩形AMPN以外（阴影

部分）铺上草坪，每平方米的造价为

12kS（k为正常数），求总造价T关于S的函数

BT?f(S)；试问如何选取|AM|的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）.

解：（1）在Rt?PMC中，显然|MC|?30?x，?PCM?60，

?|PM|?|MC|?tan?PCM?3(30?x)，??????2分

3x(30?x)，x?[10,20]?4分

?NP矩形AMPN的面积S?|PM|?|MC|?于是2003?S?225AMC3为所求.???????6分

（2） 矩形AMPN健身场地造价T1?37kS ???????????????7分

又?ABC的面积为4503，即草坪造价T2?12kS3(4503?S)，?????8分

由总造价T?T1?T2，?T?25k(S?216S)，2003?S?2253.?10分

?S?216S3?1263，????????????????????11分

当且仅当S?216S3即S?2163时等号成立，???????????12分

此时3x(30?x)?2163，解得x?12或x?18，

所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低.?????????14分

22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

定义数列{xn}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有(xn?1?p)(xn?p)?0成立，那么我们称数列{xn}为“p?摆动数列”．

?（1）设an?2n?1，bn?(?)，n?N，判断{an}、{bn}是否为“p?摆动数列”，

1n2并说明理由；