高考 导数和圆锥曲线集锦

高考导数与圆锥曲线集锦 整理人：徐万山

1．若点P是曲线

上任意一点，则点P到直线的最小距离为

2．已知椭圆x2y23a2?b2?1(a?b?0)的长轴长为4，且点(1,2)在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于

A,B两点，若OA?OB?0，求直线l的方程。

解：（Ⅰ）由题意a?2．所求椭圆方程为

x2y24?b2?1．

又点(1,32b?1．所求椭圆方程为x2)在椭圆上，可得4?y2?1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2?4,b2?1，所以c?3，椭圆右焦点为(3,0)．

?则直线

AB的方程为

y?k(x?3)． 由

??y?k(x?3),??x2?4y2?4?0,(1?4k2)x2?83k2x?12k2?4?0．

由于直线

AB过椭圆右焦点，可知??0． 设A(x83k21,y1),B(x2,y2)，则x1?x2?1?4k2,x12k2?41x2?1?4k2，

2yyk2(x2?k12?1?3)(x2?3)?k[x1x2?3(x1?x2)?3]?1?4k2．

所以OA?OB?x12k2?4?k21x2?y1y2?1?4k2?(1?4k2)?11k2?41?4k2．

由OA?OB?0，即11k2?41?4k2?0，可得k2?411,k??21111．

所以直线l的方程为

y??21111(x?3)．

3．已知函数.（1）求

的单调区间和最小值；

（2）若对任意

恒成立，求实数m的最大值．

解：（1)

，

，

有

，

函数

在

上递增；

有

，

函数在上递减；

在处取得最小值，最小值为

；

(2)

，即 ，又

可得

，令

令，解得或

（舍）当时，

，函数

在

上递减，

当时，

，函数

在

上递增，h(x)的最小值=h(1)=4，得 m≤4,

即

的最大值4.

4.已知点

A是抛物线x2?4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，

P在抛物线上且满足

PA?mPB，当m取最大值时，点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( C )

A．

5?12 B．2?12 C．2?1 D．5?1 1

5.已知函数

?x?1?3(x?0)f(x)??，若函数g(x)?f(x)?x?b有且仅有两个零点，

2??x(x?0)（2）若对任意x1?x2?0，f(x1)?f(x2)?x1?x2恒成立，求kf?(x)?的取值范围.

解：（1）由条件得

1k?(x?0) ∵曲线y?f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线xx2则实数b的取值范围是

.

26. 已知点A(1,0),点P是圆C：(x?1)?y2?8上的任意一点,，线段PA的垂直

1kx?2?0垂直，∴此切线的斜率为0 即f?(e)?0，有?2?0，得k?e

ee∴

平分线与直线CP交于点E. （1）求点E的轨迹方程； （2）若直线

y?kx?m与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ

f?(x)?1e?xx2=

x?e(x?0)，由f?(x)?0得0?x?e，由f?(x)?0得x?e. x2为直径的圆的内部，求实数m的取值范围． 解：（1）由题意知

∴

，

f(x)在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，当x?e时f(x)取得极小值

EP?EA,CE?EP?22，∴CE?EA?22?2?CAx2?y2?1 ∴E的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，其轨迹方程为：2（2）设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则将直线与椭圆的方程联立得：?f(e)?lne?e?2.故f(x)的单调递减区间为（0，e），极小值为2e.

?y?kx?m， 22x?2y?2?（2）条件等价于对任意x1?x2?0，f(x1)?x1?f(x2)?x2恒成立，……（*）

k?x(x?0)，∴（*）等价于h(x)在（0，+∞）上单调递减. x设h(x)? f(x)?x?lnx?消去y,得：(2k2?1)x2?4kmx?2m2?2?0

由h?(x)4km2m2?2 ??0,m?2k?1(*); x1?x2??2,x1x?2k?12k2?122?1k11?2?1?0在（0，+∞）上恒成立， 得k??x2?x=?(x?)2?(x?0)恒xx24因为O在以PQ为直径的圆的内部，故OP?OQ?0,即x1x2?y1y2?0,

成立，∴k?14 ( 对k?14，h?(x)?0仅在x?1时成立)，故k2

的取值范围是[

1，+∞）. 4m2?2k22m2?2m2?2k28．已知函数,由x1x2?y1y2???0 而y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?2222k?12k?12k?12662k2?222,) , ?m?, 且满足（*）式 M的取值范围是(?得：m?3333kf(x)?lnx?7. 设函数，k?R.(1) 若曲线y?f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x?2?0垂

x直，求f(x)的单调递减区间和极小值（其中e为自然对数的底数）；

2

若a、b、c互不相等，且f(a)?f(b)?f(c)，则

a?b?c的取值范围是C

A．（1，2014） B．（1，2015） C．（2，2015） D．[2，2015] 9.下列四个图中,函数

y?10lnx?1x?1的图象可能是C

10.设函数

f(x)?ex?x?2,g(x)?lnx?x2?3.若实数a,b满足f(a)?0,g(b)?0，则A

A．g(a)?0?f(b) B．f(b)?0?g(a)

C．0?g(a)?f(b) D．f(b)?g(a)?0

11.已知定义的R上的偶函数

f?x?在[0,??)上是增函数，不等式f(ax?1)?f(x?2)

对任意x???1?2,1???恒成立，则实数a的取值范围是B A.??3,?1? B.??2,0? C.??5,?1? D.??2,1?

12.已知

lga?lgb?0，则满足不等式

aa2?1?bb2?1??的实数?的最小值 是

103 .

13.定义在R上的函数

f(x)满足f(x)?f(x?5)?16，当x?(?1,4],f(x)?x2?2x，则函数f(x)的在[0,2014]上的零点个数是 605 ． 14.已知函数

(其中a?R).

（Ⅰ）若

为

的极值点,求

的值；

(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式

.

15. (Ⅰ)因为

因为为的极值点,所以由,解得

检验,当时,,当

时,,当时,.

所以

为

的极值点,故

.

(Ⅱ) 当

时,不等式,

整理得,

即或

令,,,

当时,；当

时,

,

所以

在

单调递减,在

单调递增,所以

,即

,

所以

在

上单调递增,而

；故

；

,所以原不等式的解集为

.

16.已知a?0，函数f(x)?x2?ax.设xa1?(??,?2)，记曲线y?f(x)在点

M(x1,f(x1))处的切线为l，l与x轴的交点是N(x2,0)，O为坐标原点. （Ⅰ）证明：x?x2122x；

1?a（Ⅱ）若对于任意的x?(??,?a9a12)，都有OM?ON?16成立，求a的取值范围. 解：（Ⅰ)曲线y?f(x)在点M(x1,f(x1)处的切线l的方程为

3

y?f(xxx211)?(2x1?a)(x?x1) 令y?0，得2?2x 1?a(Ⅱ) OM?ON?9a16?x3?9ax8?916a2?0在x?(??,?a2)上恒成立 设

f(x)?x3?9ax8?916a2， f'(x)?3x2?98a 令

f'(x)?0，解得x??3a8，x?(??,?3a8],f'(x)?0 x?(?3a8,?12a),f'(x)?0 当x??3a8时，

f(x)取极大值

10当?a??3a,即a?3

2

时，F(x)aa328max?F(?2)??8，满足题设要求；

20

当?a3a2??8，即0?a?33a2，F(x)max?F(?8)?34(3a8)3?9216a， 若

f(x)2max?0，解得a?

3. 综上，实数a的取值范围为a?2

3

. 217.已知函数

f(x)?x2?a3ln(x?a?a2)，a?R且a?0． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）当a?0时，若a2?a?x2?f(x1)a21?x2?a?a，证明:

f(x2)x??a.

2?x12解：（1）由题，f?(x)?x?a3x2?(a?a2)x?a3x?a?a2?x?a?a2

?(x?a)(x?a2)x?a?a2. 令f?(x)?0，因为x?a?a2?0故(x?a)(x?a2)?0. 当a?0时，因a?a2?a且a?a2?a2所以上不等式的解为(a?a2,??),

从而此时函数f(x)在(a?a2,??)上单调递增.

当a?0时，因a?a?a2?a2所以上不等式的解为(a2,??)，

从而此时函数

f(x)在(a2,??)上单调递增.同理此时f(x)在(a?a2,a2]上单调递减.

（2）（方法一）要证原不等式成立，只须证明f(x?(xa22)?f(x1)2?x1)(2?a)，

只须证明f(xa2a22)?(2?a)x2?f(x1)?(2?a)x1.

因为a2?a?x21?x2?a?a所以原不等式只须证明，

函数h(x)?f(x)?(a2?a)x在x?(a22?a,a2?a)内单调递减.

33由（1）知h?(x)?x?(a2a3x2?2a4a2ax?2?2?a22?a)?x?a?a2?x?a?a2，

因为x?a?a2?0，

我们考察函数g(x)?x2?32a2x?a42?a32?a2,x???a2?a,a2?a??. 因a2?a?a2?a2?a?x3a2222对称轴?4???a?a,a?a??，

所以g(x)?g(a2?a)?0. 从而知h?(x)?0在x?(a2?a,a2?a)上恒成立，

h(x)?f(x)?(a2所以函数2?a)x在x?(a2?a,a2?a)内单调递减.从而原命题成立

xa2（方法二）要证原不等式成立，只须证明f(2)?f(x1)?(x2?x1)(2?a)， 只须证明f(xa2a22)?(2?a)x2?f(x1)?(2?a)x1. 又a2?a?x?a2?a，设g?x??f?x?????a21?x22?a???x，

??则欲证原不等式只须证明函数g?x??f?x?????a22?a???x在x???a2?a,a2?a??内单调递减

??4