2019年浙江省高考数学试卷(解析版)

此时k?4y11?8??2x?2??2，则点G的坐标为G?2,0?. ，G?2?y12?43?k?【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

22.已知实数a?0，设函数f(x)=alnx?（1）当a??x?1,x?0.

3时，求函数f(x)的单调区间； 4（2）对任意x?[1x,??)均有f(x)?, 求a的取值范围. 2e2a注：e?2.71828...为自然对数的底数.

【答案】（1）f?x?的单调递增区间是?3,???,单调递减区间是?0,3?；（2）0?a?【解析】 【分析】

(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.

(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可. 【详解】(1)当a??2. 433时，f?x???lnx?x?1，函数的定义域为?0,???，且： 44f'?x????x?3??4x?3?31?3x?1?2x???， 4x2x?14xx?14xx?13x?1?2x??因此函数f?x?的单调递增区间是?3,???,单调递减区间是?0,3?. (2)构造函数g?x??alnx?1?x?x， 2a注意到：g?11?1???2a??1??0， 2?22aee?e?11111?1??1?2?0； ?2?1?2恒成立，满足g?2???2a?2aee2aeee?e?注意到a?0时2a?当a?0时，g?11?1???2a??1??0，不合题意， 2?22aee?e?且g?1??2?122. ?0，解得：a?，故0?a?2a442刚好是满足题意的实数a的取值范围. 4下面证明0?a?分类讨论：

(a)当x?1时，g?x??alnx?1?x?x2?lnx?1?x?2x， 2a4令??x??2lnx?1?x?2x，则： 4?'?x??111?? 22x21?x2x

?1?x?2x?2x(1?x)22x1?x?22x1?x??2x2?3x?1?22x1?x(1?x?2x?2x(1?x))

?22x1?x??1?x??4x3?8x2?5x?1?1?x?2x?2x(1?x)22x1?x??2x?3x?1?2???，

易知?'?x??0，则函数??x?单调递减，g?x????x????1??0，满足题意.

(b)当

112gx?0?x?1时，等价于alnx?x?1?a?x?0， ??2e2左侧是关于a的开口向下的二次函数??a?, 其判别式??x??1?x?2xlnx?1??x?4lnx?x??，

x??1?t2?4t?11??0， 令t?x，注意到当t?时,?4lnt?t??'?2tte??于是??x?在x???1??1?5,1?,上单调递增而?????2ln2?0， 2?e??4?4于是当x???11?,?时命题成立, 2?e4?而当x???1?,1?时,此时??a?的对称轴为a?x?1随着x递增, ?4??2lnx于是对称轴在a?5552(). 的右侧,而成立，不等式等价于ln2??88ln28ln24?2?因此??a??u??4?????1??0

??综上可得：实数a的取值范围是0?a?【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

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