浙江专版18年高考数学二轮专题复习重难增分训练二三角函数的综合问题180207491

。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 重难增分训练（二） 三角函数的综合问题

3

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝－，a＝42，b＝5，则向

5―→―→

量BA在BC方向上的投影为( )

1

A. 2

B.

233 C. D. 222

34bsin A2

解析：选B 由cos A＝－，0

由题意知a>b，则A>B，故B＝.根据余弦定理，有(42)＝5＋c－2×5c×?－?，解得c＝1

4?5?22―→―→―→

或c＝－7(舍去)，于是向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝1×＝，故选B.

22

2．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(－sin B，cos B)，n＝(sin C，cos C)，若m·n＝－A.C.

3

，且a＝1，b＝3，则B＝( ) 2

π B.

43ππ D.或 44

333

，得－sin Bsin C＋cos Bcos C＝－，即cos(B＋C)＝－，222

π2π

或 33π 3

解析：选A 由m·n＝－所以cos A＝

3πbsin A3π5π，由0

π2π

知B＝或，故选A.

33

π??3．(2017·张掖一诊)函数f(x)＝2cos?ωx＋?(ω>0)的图象与x轴的交点的横坐标构成一

3??π

个公差为的等差数列，要得到函数g(x)＝2sin ωx的图象，只需将函数f(x)的图象( )

2

π

A．向左平移个单位长度

12π

B．向右平移个单位长度

6

- 1 -

5π

C．向右平移个单位长度

12π

D．向左平移个单位长度

3

解析：选C 由题意知f(x)的周期为π，∴ω＝2，

5π?π?π????x－2x－2＋，∴要得到函数g(x)＝2sin 2x的∴g(x)＝2sin 2x＝2cos??＝2cos??12?2??3?????π?5π?图象，只需将函数f(x)＝2cos?2x＋?的图象向右平移个单位长度．

3?12?

π?―→?π

4.已知函数y＝tan?x－?的部分图象如图所示，则(OA＋

2??4―→―→

OB)·AB＝________.

ππ?ππ?x－解析：y＝tan?＝0?x－＝kπ(k∈Z)，x＝4k＋2(k∈?2?42?4Z)，结合题中图得x＝2，故A(2,0)，由y＝tan?

?πx－π?＝1?πx－π＝kπ＋π?x＝4k＋3(k2?424?4?

―→―→―→―→―→―→

∈Z)，结合题中图得x＝3，故B(3,1)，所以OA＋OB＝(5,1)，AB＝(1,1)．故(OA＋OB)·AB＝5×1＋1×1＝6.

答案：6

?π?5．(2017·临沂模拟)已知函数f(x)＝4sin?x－?cos x＋3.

3??

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

?π?(2)若函数g(x)＝f(x)－m在?0，?上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并

2??

计算tan(x1＋x2)的值．

?π?解：(1)f(x)＝4sin?x－?cos x＋3

3??

3?1?

＝4?sin x－cos x?cos x＋3

2?2?＝2sin xcos x－23cosx＋3 ＝sin 2x－3cos 2x π??＝2sin?2x－?. 3??

所以f(x)的最小正周期T＝π.

ππππ5π

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

2321212

2

- 2 -

π5π??所以函数f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)． 1212??(2)方程g(x)＝0同解于f(x)＝m，

π??π??在平面直角坐标系中画出函数f(x)＝2sin?2x－?在?0，?上的图象，如图所示，由图象

3??2??可知，

当且仅当m∈[3，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解x1，x2，且

x1＋x2＝2×

5π5π

＝， 126

5ππ3

故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan＝－.

663

6．在△ABC中，AD是BC边的中线，AB＋AC＋AB·AC＝BC，且△ABC的面积为3. ―→―→

(1)求∠BAC的大小及AB·AC的值； (2)若AB＝4，求AD的长．

2

2

2

AB2＋AC2－BC21

解：(1)在△ABC中，由AB＋AC＋AB·AC＝BC，可得＝－＝cos∠BAC，

2·AB·AC2

2

2

2

故∠BAC＝120°.

11

因为S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝·AB·AC·sin 120°＝3，

2213

所以·AB·AC·＝3，解得AB·AC＝4.

22

―→―→―→―→―→―→?1??1?所以AB·AC＝|AB|·|AC|×cos 120°＝|AB|·|AC|·?－?＝4×?－?＝－2.

?2??2?(2)法一：由AB＝4，AB·AC＝4得AC＝1.

?1?222

在△ABC中，由余弦定理得BC＝AB＋AC－2AB·ACcos∠BAC＝16＋1－2×4×1×?－?＝21，

?2?

得BC＝21.

由正弦定理得＝，

sin∠BACsin∠ABC31×

2ACsin∠BAC7

则sin∠ABC＝＝＝.

BC1421321

∵0°<∠ABC<60°，故cos∠ABC＝.

14

212132113222

在△ABD中，AD＝AB＋BD－2AB·BDcos∠ABD＝16＋－2×4××＝，

42144

BCAC - 3 -

得AD＝13. 2

法二：由AB＝4，AB×BC＝4得AC＝1.

?1?222

在△ABC中，由余弦定理得BC＝AB＋AC－2AB×ACcos∠BAC＝16＋1－2×4×1×?－?＝21，

?2?

得BC＝21，

AB2＋BC2－AC216＋21－1321

cos∠ABC＝＝＝，

2AB×BC142×4×21

212132113222

在△ABD中，AD＝AB＋BD－2AB×BDcos∠ABD＝16＋－2×4××＝，

42144得AD＝13

. 2

7．(2017·衢州质检)已知函数f(x)＝3cos?(1)求f(x)的单调递增区间；

?π＋x?·cos x＋sin2x，x∈R.

??2?

π

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，a＝2且角A满足f(A)＝0，

4求△ABC的面积．

1－cos 2x1?π?2

解：(1)f(x)＝3cos?＋x?·cos x＋sinx＝－3sin xcos x＋＝－

22?2?π?1?3?1?

?sin 2x＋cos 2x?＝2－sin?2x＋6?，

??2?2?

ππ3π

令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

262π2π

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.

63

π2π??∴f(x)的单调递增区间是?kπ＋，kπ＋?，k∈Z.

63??π?1?(2)∵f(A)＝0，∴－sin?2A＋?＝0， 6?2?π

又∵0

sin B266＋2又b＝·a＝，sin C＝sin(A＋B)＝，

sin A3411266＋23＋3∴S△ABC＝absin C＝×2××＝.

22343

8．已知函数f(x)＝m·n，其中向量m＝(sin ωx＋cos ωx，3cos ωx)，n＝(cos ωx－sin ωx,2sin ωx)，ω>0，若f(x)的图象上相邻两个对称中心的距离大于等于π.

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