2020年高考数学压轴题函数与导数专项(解析版)

∴f（5a）＝f（3）＝f（﹣1）＝﹣1+=?， 故答案为：?5

36．【2016年浙江理科12】已知a＞b＞1，若logab+logba=2，ab＝ba，则a＝ ，b＝ ． 【解答】解：设t＝logba，由a＞b＞1知t＞1， 代入logab+logba=2得??+??=2，

即2t2﹣5t+2＝0，解得t＝2或t=2（舍去）， 所以logba＝2，即a＝b2，

因为ab＝ba，所以b2b＝ba，则a＝2b＝b2， 解得b＝2，a＝4， 故答案为：4；2．

37．【2015年江苏13】已知函数f（x）＝|lnx|，g（x）={根的个数为 ．

【解答】解：由|f（x）+g（x）|＝1可得g（x）＝﹣f（x）±1． g（x）与h（x）＝﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点

0，0＜??≤1

，则方程|f（x）+g（x）|＝1实

|??2?4|?2，??＞1

1

5

1

5

5

2

3525

g（x）与φ（x）＝﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；

所以方程|f（x）+g（x）|＝1实根的个数为4． 故答案为：4．

38．【2015年北京理科14】设函数f（x）={

2?????，??＜1

，

4(?????)(???2??)，??≥1

①若a＝1，则f（x）的最小值为 ；

②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ． 2???1，??＜1【解答】解：①当a＝1时，f（x）={，

4(???1)(???2)，??≥1当x＜1时，f（x）＝2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，

当x＞1时，f（x）＝4（x﹣1）（x﹣2）＝4（x2﹣3x+2）＝4（x?）2﹣1， 当1＜x＜2时，函数单调递减，当x＞2时，函数单调递增， 故当x=2时，f（x）min＝f（）＝﹣1，

2

3

3

3

3

3

2②设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a） 若在x＜1时，h（x）＝与x轴有一个交点，

所以a＞0，并且当x＝1时，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2， 而函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1， 所以≤a＜1，

21

若函数h（x）＝2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点， 则函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，

当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），

当h（1）＝2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1＝a，x2＝2a，都是满足题意的， 综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．

21

39．【2014年江苏13】已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x+2|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是 ． 【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x+|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y＝a的图象如图：由图象可知??∈(0，2)． 故答案为：（0，）．

21

1

1

21

40．【2014年天津理科14】已知函数f（x）＝|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为 ．

【解答】解：由y＝f（x）﹣a|x﹣1|＝0得f（x）＝a|x﹣1|， 作出函数y＝f（x），y＝g（x）＝a|x﹣1|的图象，

当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件， 则a＞0，此时g（x）＝a|x﹣1|={

??(???1)

??≥1

，

???(???1)??＜1

当﹣3＜x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣3x，g（x）＝﹣a（x﹣1）， 当直线和抛物线相切时，有三个零点， 此时﹣x2﹣3x＝﹣a（x﹣1）， 即x2+（3﹣a）x+a＝0，

则由△＝（3﹣a）2﹣4a＝0，即a2﹣10a+9＝0，解得a＝1或a＝9， 当a＝9时，g（x）＝﹣9（x﹣1），g（0）＝9，此时不成立，∴此时a＝1，

要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，

若a＞1，此时g（x）＝﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点， 此时只需要当x＞1时，f（x）＝g（x）有两个不同的零点即可， 即x2+3x＝a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a＝0，

则由△＝（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9， 综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞）， 方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|＝0得f（x）＝a|x﹣1|， 若x＝1，则4＝0不成立， 故x≠1，

2

??(??)|??2+3??|(???1)+5(???1)+44

则方程等价为a===||＝|x﹣1++5|，

|???1||???1|???1???1

设g（x）＝x﹣1+???1+5， 当x＞1时，g（x）＝x﹣1+取等号，

当x＜1时，g（x）＝x﹣1+???1+5≤5?2√[?(???1)]????1=5﹣4＝1，当且仅当﹣（x﹣1）=????1，即x＝﹣1时取等号， 则|g（x）|的图象如图：

若方程f（x）﹣a|x﹣1|＝0恰有4个互异的实数根， 则满足a＞9或0＜a＜1， 故答案为：（0，1）∪（9，+∞）

4

?44

444

+5≥2√(???1)+5=4+5=9，当且仅当x﹣1=，即x＝3时???1???1???14