2020年高考数学压轴题函数与导数专项(解析版)

∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；

对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，

∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；

对于C，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故C正确；

对于D，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，

即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故D错误． 故选：C．

18．【2015年天津理科07】已知定义在R上的函数（fx）＝2|x

﹣m|

﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝（flog0.53），

b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c

B．a＜c＜b

C．c＜a＜b

D．c＜b＜a

【解答】解：∵f（x）为偶函数； ∴f（﹣x）＝f（x）； ∴2|

﹣x﹣m|

﹣1＝2|x

﹣m|

﹣1；

∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|； （﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2； ∴mx＝0； ∴m＝0；

∴f（x）＝2|x|﹣1；

∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（|log0.53|）＝f（log23），b＝f（log25），c＝f（0）； ∵0＜log23＜log25； ∴c＜a＜b． 故选：C．

2?|??|，??≤219．【2015年天津理科08】已知函数f（x）={，函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若

2

(???2)，??＞2函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ） A．（，+∞）

47

B．（﹣∞，）

4

7

C．（0，）

4

7

D．（，2）

4

7

【解答】解：∵g（x）＝b﹣f（2﹣x），

∴y＝f（x）﹣g（x）＝f（x）﹣b+f（2﹣x），

由f（x）﹣b+f（2﹣x）＝0，得f（x）+f（2﹣x）＝b， 设h（x）＝f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2， 则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2+x+x2， 若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，

则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2﹣x+2﹣|2﹣x|＝2﹣x+2﹣2+x＝2， 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，

则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|＝x2﹣5x+8．

??2+??+2，即h（x）={2，??≤00＜??≤2，

??2?5??+8，??＞2

作出函数h（x）的图象如图：

当x≤0时，h（x）＝2+x+x2＝（x+）2+≥， 当x＞2时，h（x）＝x2﹣5x+8＝（x?2）2+4≥4， 故当b=时，h（x）＝b，有两个交点， 当b＝2时，h（x）＝b，有无数个交点，

由图象知要使函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 即h（x）＝b恰有4个根， 则满足＜b＜2，

477

45

7

7

127474故选：D．

20．【2014年上海理科18】设f（x）={（ ） A．[﹣1，2]

B．[﹣1，0]

(?????)2，??≤0

，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为1

??+??+??，??＞0

C．[1，2] D．[0，2]

【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值， 当a≥0时，f（0）＝a2， 由题意得：a2≤x+??+a，

解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2， ∴0≤a≤2， 故选：D．

???2+2??，??≤0

21．【2013年新课标1理科11】已知函数f（x）={，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是

????(??+1)，??＞0（ ） A．（﹣∞，0]

B．（﹣∞，1]

C．[﹣2，1]

D．[﹣2，0]

1

【解答】解：由题意可作出函数y＝|f（x）|的图象，和函数y＝ax的图象，

由图象可知：函数y＝ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f（x）|在第二象限的部分解析式为y＝x2﹣2x，

求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2， 故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0] 故选：D．

22．【2013年天津理科08】已知函数f（x）＝x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，

若[?，]???，则实数a的取值范围是（ ） A．(C．(

1?√5，0) 21212B．(

1?√3，0) 21?√5) 21?√51+√3，0)∪(0，) 221

212D．(?∞，【解答】解：取a=?时，f（x）=?x|x|+x， ∵f（x+a）＜f（x）， ∴（x?2）|x?2|+1＞x|x|， （1）x＜0时，解得?＜x＜0； （2）0≤x≤时，解得0≤??≤； （3）x＞2时，解得＜??＜，

2

4

1

1

5

1

212341

1

综上知，a=?2时，A＝（?4，），符合题意，排除B、D；

4

13

5

取a＝1时，f（x）＝x|x|+x，

∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|， （1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾； （2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾； （3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾； 综上，a＝1，A＝?，不合题意，排除C， 故选：A．

23．【2011年新课标1理科12】函数y=1???的图象与函数y＝2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A．8

B．6

1

1

C．4 D．2

【解答】解：函数y1=1???，

y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0）， 作出两个函数的图象，如图， 当1＜x≤4时，y1＜0

而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，