2020年高考数学压轴题函数与导数专项(解析版)

【解答】解：y＝loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1， 函数f（x）在R上单调递减，则：

3?4??

≥02{0＜??＜1； 02+(4???3)?0+3??≥????????(0+1)+1解得，≤??≤；

3

4

1

3

由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|＝2﹣x有且仅有一个解， 故在（﹣∞，0）上，|f（x）|＝2﹣x同样有且仅有一个解， 当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|＝2﹣x， 则△＝（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）＝0， 解得a=或1（舍去），

当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件， 综上：a的取值范围为[，]∪{}，

3

3

4

1

2

3

3

423故选：C．

14．【2015年新课标2理科10】如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（ ）

A． B．

C．

??4D．

【解答】解：当0≤x≤时，BP＝tanx，AP=√????2+????2=√4+??????2??， 此时f（x）=√4+??????2??+tanx，0≤x≤，此时单调递增，

??4当P在CD边上运动时，

??4

≤x≤

3????

且x≠时，42

????1

=?， ????????如图所示，tan∠POB＝tan（π﹣∠POQ）＝tanx＝﹣tan∠POQ=?∴OQ=?

1

， ????????1

1

∴PD＝AO﹣OQ＝1+????????，PC＝BO+OQ＝1?????????， ∴PA+PB=√(1?????????)2+1+√(1+????????)2+1， 当x=2时，PA+PB＝2√2， 当P在AD边上运动时，

3??4

??

1

1

≤x≤π，PA+PB=√4+??????2???tanx，

??2由对称性可知函数f（x）关于x=对称， 且f（）＞f（），且轨迹为非线型，

4

2

??

??

排除A，C，D， 故选：B．

15．【2015年浙江理科07】存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（ ） A．f（sin2x）＝sinx C．f（x2+1）＝|x+1|

B．f（sin2x）＝x2+x D．f（x2+2x）＝|x+1|

【解答】解：A．取x＝0，则sin2x＝0，∴f（0）＝0； 取x=2，则sin2x＝0，∴f（0）＝1； ∴f（0）＝0，和1，不符合函数的定义；

∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）＝sinx； B．取x＝0，则f（0）＝0； 取x＝π，则f（0）＝π2+π；

∴f（0）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；

C．取x＝1，则f（2）＝2，取x＝﹣1，则f（2）＝0； 这样f（2）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；

D．令x+1＝t，则f（x2+2x）＝|x+1|，化为f（t2﹣1）＝|t|； 令t2﹣1＝x，则t＝±√??+1； ∴??(??)=√??+1；

即存在函数f（x）=√??+1，对任意x∈R，都有f（x2+2x）＝|x+1|； ∴该选项正确． 故选：D．

16．【2015年北京理科07】如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（ ）

??

A．{x|﹣1＜x≤0}

B．{x|﹣1≤x≤1}

C．{x|﹣1＜x≤1}

D．{x|﹣1＜x≤2}

【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y＝log2（x+1）的图象，如图

满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}； 故选：C．

17．【2015年北京理科08】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，