2016届高三数学一轮总复习：专题3-函数及其性质（含解析）

专题三、函数及其性质 抓住4个高考重点

重点 1 函数概念与表示法

1.函数与映射，构成函数的三要素 2.函数的表示方法：解析法、列表法、图象法 3.函数的定义域、值域 [高考常考角度]

角度1 （1）已知f(x?1)?x?2x,则f(x)?

（2）若f(x?1x)?1x2?x2?5，则f(x)? （3）已知f(x)满足2f(x)?f(1x)?3x?1(x?0)，则f(x)=________________

（4）已知f(x)为二次函数，若f(0)?0,且f(x?1)?f(x)?x?1,则f(x)?_______

(1) x2?1,(x?1) (2) x2?7,|x|?2 (3) 2x?111x?3 (4) 2x2?12x 角度2若f(x)?1log，则f(x)的定义域为( )

1(2x?1)2A.(?1,0) B.(?1,??) C.(?1,0)?(0,??) D.(?12222,2) 角度3函数y?16?4x的值域是（ ）

A. [0,??) B.[0,4] C. [0,4) D. (0,4)

解：?4x?0,?0?16?4x?16?16?4x??0,4?

重点 2 函数的单调性与奇偶性

1.函数的单调性 2.函数的奇偶性 3.单调性与奇偶性的关系 [高考常考角度]

角度1设函数f(x)(x?R)满足f(?x)?f(x),f(x?2)?f(x)，则函数y?f(x)的图象可能是（ B

角度2设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ）

A．|f(x)|?g(x)是奇函数 B．f(x)?|g(x)|是奇函数 C．|f(x)| +g(x)是偶函数 D．f(x)+|g(x)|是偶函数

解析:因为g(x)是R上的奇函数,所以|g(x)|是R上的偶函数,从而f(x)?|g(x)||是偶函数,故选D

）

角度3设f(x)是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f(x)?2x(1?x)，则f(?)?（ ）

521111 B. ? C. D. 42245111解析：先利用周期性，再利用奇偶性得：f(?)?f(?)??f()??.

2222A. ?角度4函数f(x)的定义域为R，f(?1)?2，对任意x?R，f?(x)?2，则f(x)?2x?4的解集为（ ）

A． (?1,1) B．(?1,??) C．(??,?1) D． (??,??) 解析：设g(x)?f(x)?2x?4，则g?(x)?f?(x)?2?0，所以函数g(x)在R上单调递增.

又g(?1)?f(?1)?2?4?0，所以原不等式可化为g(x)?g(?1)??x??1，即f(x)?2x?4的解集为(?1,??)

重点 3 二次函数

1.二次函数的性质 2.二次方程的根的分布 [高考常考角度]

角度1设abc?0，二次函数f(x)?ax2?bx?c的图象可能( )

A. B. C. D. 解析：当a?0时，b、c同号，f(0)?c，C、D两图中c?0，故b?0,?b?0，选项D符合. 2a点评：根据二次函数图像开口向上或向下，分a?0或a?0两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.

角度2设n?N，一元二次方程x?4x?n?0有整数根的充要条件是n? ． ．．点评：直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算． 解析：x?*24?16?4n?2?4?n，因为x是整数，即2?4?n为整数，所以4?n为整数，且n?4，

2*又因为n?N，取n?1,2,3,4，验证可知n?3,4符合题意； 反之n?3,4时，可推出一元二次方程x?4x?n?0有整数根． ．．

重点 4 函数的零点

1.零点的概念：使得f(a)?0的实数a叫做函数y?f(x)的零点 2.解函数零点存在性问题的常用的方法

- 2 -

2

（1）函数零点判定：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线，并且f(a)?f(b)?0，那么函数在区间(a,b)内有零点，即存在x0?(a,b)使得f(x0)?0，这个x0也就是方程f(x)?0的根. （2）解方程f(x)?0，求出的x即为函数y?f(x)的零点

（3）画出函数y?f(x)图象，它与x轴的交点即为函数y?f(x)的零点 3. 函数y?f(x)的零点个数的确定方法：通过方程根的个数或者图象分析 [高考常考角度]

角度1函数f(x)?2x?3x的零点所在的一个区间是（ ）

A.(?2,?1) B.(?1,0) C.(0,1) D.(1,2) 解析：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。 由f(?1)?1?3?0,f(0)?1?0及零点定理知f(x)的零点在区间(?1,0)上。 2点评：函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。 角度2已知函数f(x)?ex?2x?a有零点，则a的取值范围是___________。

x解析：由题得f?(x)?ex?2，解f?(x)?ex?2?0得x?ln2；解e?2?0得x?ln2，

故f(x)极大值?f(ln2)?2?2ln2?a?0?a?2ln2?2，故a的取值范围是(??,2ln2?2]。

突破4个高考难点

难点1 闭区间上的二次函数的最值 主要方法：数形结合、分类讨论

典例1 设函数y?x2?2x,x?[?2,a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)?_______ 解析：y?x2?2x?(x?1)2?1， 作图分析可知

当?2?a?1时，f(x)min?f(a)?a?2a; 当a?1时，f(x)min典例2 已知函数y??sinx?asinx?22?a2?2a,?2?a?1 ?f(1)??1综上，g(a)??a?1??1,a1?的最大值为2，则a?_____ 42a1a212a2解：令t?sinx,t?[?1,1]，则s??t?at????(t?)?(a?a?2)，对称轴为t?，作出图象分析得：

42242aa1当??1，即a??2时，函数s在[?1,1]单调递减，ymax?smax?s(?1)??1?a???2??a??2（舍去） 242a12当?1??1，即?2?a?2时，ymax?smax?(a?a?2)?2??a??2或a?3（舍去）

24- 3 -

aa110?1，即a?2时，函数s在[?1,1]单调递增，ymax?smax?s(1)??1?a???2??a? 242310综上，a??2或a?

3当

难点2 分段函数问题的求解

x??2?1,x?1典例1 已知函数f(x)??2，若f(f(0))?4a,则实数a?（ ）

??x?ax,x?1A.

14 B. C. 2 D. 9 25解析：f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2

?log(1?x),x?0典例2定义在R上的函数f(x)满足f(x)??2，则f(2009)的值为( )

?f(x?1)?f(x?2),x?0A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2

解析：由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0, f(1)?f(0)?f(?1)??1,f(2)?f(1)?f(0)??1,

f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1, f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2009)?f(5)?1,故选C. 难点3 函数图象的识别与应用

典例1 若函数f(x)?kax?a?x(a?0且a?1)在(??,??)上既是奇函数，又是增函数，则g(x)?loga(x?k)的图象是（ ）

A. B. C. D. ?xx解析：f(?x)?f(x)?0，即：ka?x?ax?kax?a?x?0，∴(k?1)(a?a)?0 ∵a?x?ax?0，∴ k?1，

x?x∴f(x)?a?a， g(x)?loga(x?1)

x?x∵f(x)?a?a在(??,??)上为增函数，故a?1， ∴g(x)?loga(x?1)在(?1,??)上为增函数，故选C．

典例2 函数y?2?x的图象大致是( )

x2- 4 -