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2016届高三数学一轮总复习:专题3-函数及其性质(含解析)

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  • 2025/7/12 3:20:53

专题三、函数及其性质 抓住4个高考重点

重点 1 函数概念与表示法

1.函数与映射,构成函数的三要素 2.函数的表示方法:解析法、列表法、图象法 3.函数的定义域、值域 [高考常考角度]

角度1 (1)已知f(x?1)?x?2x,则f(x)?

(2)若f(x?1x)?1x2?x2?5,则f(x)? (3)已知f(x)满足2f(x)?f(1x)?3x?1(x?0),则f(x)=________________

(4)已知f(x)为二次函数,若f(0)?0,且f(x?1)?f(x)?x?1,则f(x)?_______

(1) x2?1,(x?1) (2) x2?7,|x|?2 (3) 2x?111x?3 (4) 2x2?12x 角度2若f(x)?1log,则f(x)的定义域为( )

1(2x?1)2A.(?1,0) B.(?1,??) C.(?1,0)?(0,??) D.(?12222,2) 角度3函数y?16?4x的值域是( )

A. [0,??) B.[0,4] C. [0,4) D. (0,4)

解:?4x?0,?0?16?4x?16?16?4x??0,4?

重点 2 函数的单调性与奇偶性

1.函数的单调性 2.函数的奇偶性 3.单调性与奇偶性的关系 [高考常考角度]

角度1设函数f(x)(x?R)满足f(?x)?f(x),f(x?2)?f(x),则函数y?f(x)的图象可能是( B

角度2设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 ( )

A.|f(x)|?g(x)是奇函数 B.f(x)?|g(x)|是奇函数 C.|f(x)| +g(x)是偶函数 D.f(x)+|g(x)|是偶函数

解析:因为g(x)是R上的奇函数,所以|g(x)|是R上的偶函数,从而f(x)?|g(x)||是偶函数,故选D

角度3设f(x)是周期为2的奇函数,当0?x?1时,f(x)?2x(1?x),则f(?)?( )

521111 B. ? C. D. 42245111解析:先利用周期性,再利用奇偶性得:f(?)?f(?)??f()??.

2222A. ?角度4函数f(x)的定义域为R,f(?1)?2,对任意x?R,f?(x)?2,则f(x)?2x?4的解集为( )

A. (?1,1) B.(?1,??) C.(??,?1) D. (??,??) 解析:设g(x)?f(x)?2x?4,则g?(x)?f?(x)?2?0,所以函数g(x)在R上单调递增.

又g(?1)?f(?1)?2?4?0,所以原不等式可化为g(x)?g(?1)??x??1,即f(x)?2x?4的解集为(?1,??)

重点 3 二次函数

1.二次函数的性质 2.二次方程的根的分布 [高考常考角度]

角度1设abc?0,二次函数f(x)?ax2?bx?c的图象可能( )

A. B. C. D. 解析:当a?0时,b、c同号,f(0)?c,C、D两图中c?0,故b?0,?b?0,选项D符合. 2a点评:根据二次函数图像开口向上或向下,分a?0或a?0两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.

角度2设n?N,一元二次方程x?4x?n?0有整数根的充要条件是n? . ..点评:直接利用求根公式进行计算,然后用完全平方数、整除等进行判断计算. 解析:x?*24?16?4n?2?4?n,因为x是整数,即2?4?n为整数,所以4?n为整数,且n?4,

2*又因为n?N,取n?1,2,3,4,验证可知n?3,4符合题意; 反之n?3,4时,可推出一元二次方程x?4x?n?0有整数根. ..

重点 4 函数的零点

1.零点的概念:使得f(a)?0的实数a叫做函数y?f(x)的零点 2.解函数零点存在性问题的常用的方法

- 2 -

2

(1)函数零点判定:如果函数y?f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,并且f(a)?f(b)?0,那么函数在区间(a,b)内有零点,即存在x0?(a,b)使得f(x0)?0,这个x0也就是方程f(x)?0的根. (2)解方程f(x)?0,求出的x即为函数y?f(x)的零点

(3)画出函数y?f(x)图象,它与x轴的交点即为函数y?f(x)的零点 3. 函数y?f(x)的零点个数的确定方法:通过方程根的个数或者图象分析 [高考常考角度]

角度1函数f(x)?2x?3x的零点所在的一个区间是( )

A.(?2,?1) B.(?1,0) C.(0,1) D.(1,2) 解析:本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。 由f(?1)?1?3?0,f(0)?1?0及零点定理知f(x)的零点在区间(?1,0)上。 2点评:函数零点附近函数值的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解。 角度2已知函数f(x)?ex?2x?a有零点,则a的取值范围是___________。

x解析:由题得f?(x)?ex?2,解f?(x)?ex?2?0得x?ln2;解e?2?0得x?ln2,

故f(x)极大值?f(ln2)?2?2ln2?a?0?a?2ln2?2,故a的取值范围是(??,2ln2?2]。

突破4个高考难点

难点1 闭区间上的二次函数的最值 主要方法:数形结合、分类讨论

典例1 设函数y?x2?2x,x?[?2,a],若函数的最小值为g(a),则g(a)?_______ 解析:y?x2?2x?(x?1)2?1, 作图分析可知

当?2?a?1时,f(x)min?f(a)?a?2a; 当a?1时,f(x)min典例2 已知函数y??sinx?asinx?22?a2?2a,?2?a?1 ?f(1)??1综上,g(a)??a?1??1,a1?的最大值为2,则a?_____ 42a1a212a2解:令t?sinx,t?[?1,1],则s??t?at????(t?)?(a?a?2),对称轴为t?,作出图象分析得:

42242aa1当??1,即a??2时,函数s在[?1,1]单调递减,ymax?smax?s(?1)??1?a???2??a??2(舍去) 242a12当?1??1,即?2?a?2时,ymax?smax?(a?a?2)?2??a??2或a?3(舍去)

24- 3 -

aa110?1,即a?2时,函数s在[?1,1]单调递增,ymax?smax?s(1)??1?a???2??a? 242310综上,a??2或a?

3当

难点2 分段函数问题的求解

x??2?1,x?1典例1 已知函数f(x)??2,若f(f(0))?4a,则实数a?( )

??x?ax,x?1A.

14 B. C. 2 D. 9 25解析:f(0)=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,所以a=2

?log(1?x),x?0典例2定义在R上的函数f(x)满足f(x)??2,则f(2009)的值为( )

?f(x?1)?f(x?2),x?0A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2

解析:由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0, f(1)?f(0)?f(?1)??1,f(2)?f(1)?f(0)??1,

f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1, f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现,所以f(2009)?f(5)?1,故选C. 难点3 函数图象的识别与应用

典例1 若函数f(x)?kax?a?x(a?0且a?1)在(??,??)上既是奇函数,又是增函数,则g(x)?loga(x?k)的图象是( )

A. B. C. D. ?xx解析:f(?x)?f(x)?0,即:ka?x?ax?kax?a?x?0,∴(k?1)(a?a)?0 ∵a?x?ax?0,∴ k?1,

x?x∴f(x)?a?a, g(x)?loga(x?1)

x?x∵f(x)?a?a在(??,??)上为增函数,故a?1, ∴g(x)?loga(x?1)在(?1,??)上为增函数,故选C.

典例2 函数y?2?x的图象大致是( )

x2- 4 -

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专题三、函数及其性质 抓住4个高考重点 重点 1 函数概念与表示法 1.函数与映射,构成函数的三要素 2.函数的表示方法:解析法、列表法、图象法 3.函数的定义域、值域 [高考常考角度] 角度1 (1)已知f(x?1)?x?2x,则f(x)? (2)若f(x?1x)?1x2?x2?5,则f(x)? (3)已知f(x)满足2f(x)?f(1x)?3x?1(x?0),则f(x)=________________ (4)已知f(x)为二次函数,若f(0)?0,且f(x?1)?f(x)?x?1,则f(x)?_______ (1) x2?1,(x?1) (2) x2?7,|x|?2 (3) 2x?111x?3 (4) 2x2?12x 角度2若f(x)?1log,则

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