高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质章末复习课新人教A选修4-1

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－×x＋6x＝－(x－2)＋6， 22所以当x＝2时，Smax＝6.

[变式训练] 如图所示，在△ABC和△DBE中，＝

ABBCAC5

＝＝. DBBEDE3

(1)若△ABC与△DBE的周长之差为10 cm，求△ABC的周长； (2)若△ABC与△DBE的面积之和为170 cm，求△DBE的面积． 解：(1)因为＝

2

ABBCAC＝，

DBBEDE所以△ABC∽△DBE. △ABC的周长AB5所以＝＝.

△DBE的周长DB3设△ABC的周长为5x， 则△DBE的周长为3x，

依题意得5x－3x＝10，解得x＝5. 所以△ABC的周长为25 cm. (2)因为△ABC∽△DBE，

S△ABC?AB?2?5?225所以＝??＝??＝.

S△DBE?DB??3?9

设S△ABC＝25x，则S△DBE＝9x. 依题意有25x＋9x＝170，解得x＝5. 所以△DBE的面积为45 cm. 专题四 转化思想

在证明一些等积式时，往往将其转化为比例式，当证明的比例式中的线段在同一直线上时，常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量，证明比例式成立也常用中间比来转化证明．

111[例4] 如图所示，AC∥BD，AD，BC相交于E，EF∥BD，求证＋＝.

2

ACBDEF

证明：由题意知AC∥EF∥BD，

5

所以＝，＝所以＋＝

EFBFEFAF，

ACABBDABEFEFAF＋BFAB＝＝1，

ACBDABAB111即＋＝.

ACBDEF[变式训练] 如图所示，在锐角△ABC中，AD，CE分别是BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，且DE＝22，求点B到直线AC的距离．

解：因为AD⊥BC，CE⊥AB， 所以∠ADB＝∠CEB＝90°.

又因为∠B＝∠B，所以△ADB∽△CEB， 所以BD＝AB，所以BD＝

BEBEBCABBC.

又因为∠B＝∠B，所以△BED∽△BCA，

所以S△BEDS＝?△BCA?ED?AC?2??＝218＝19

.

22，所以??22?2又因为DE＝1

?AC??＝9

，

所以AC＝62.

设点B到直线AC的距离为h， 则S1

△ABC＝2

AC·h，

故18＝1

2×62h，所以h＝32.

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