2014-2015学年高中数学(人教A版，选修2-2)练习：2.1.1 第2课时 类比推理

(2)∵|a|<1，|b|<1，|c|<1，据(1)得(ab)·c＋1>ab＋c， ∴abc＋2＝[(ab)·c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.

[点评] (1)与(2)的条件与结论有着相同的结构，通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出：(ab)·c＋1＞ab＋c是关键．

用归纳推理可推出更一般的结论：ai为实数，|ai|＜1，i＝1、2、?、n，则有：a1a2?an

＋(n－1)＞a1＋a2＋?＋an.

一、选择题

11．下列类比推理恰当的是( )

A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c [答案] D

[解析] 选项A，B，C没有从本质属性上类比，是简单类比，从而出现错误． 5－1→→

12．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为，2此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( )

A．

5＋1

2

B．

5－1

2

C．5－1 [答案] A

D．5＋1

x2y2

[解析] 如图所示，设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，

ab则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)， →→

∴FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)， →→→→又∵FB⊥AB，∴FB·AB＝b2－ac＝0， ∴c2－a2－ac＝0， ∴e2－e－1＝0，

1＋51－5∴e＝或e＝(舍去)，

22故应选A.

13．(2013·辽师大附中期中)类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边长的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质：

(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积

1

(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的 4(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有( ) A．(1) C．(1)(2)(3) [答案] C

[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．

二、填空题

14．(2014·阜阳一中模拟)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an.由类比推理可得：在等比数列{bn}中，若其前n项的积为Pn，则P2n－1＝________.

n1[答案] b2 n

－

B．(1)(2) D．都不对

[解析] 将等差数列前n项和类比到等比数列前n项的积，将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”．因为等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an.所以类比

2n1

可得：在等比数列{bn}中，若其前n项的积为Pn，则P2n－1＝bn.

－

15．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为________．

[答案] S2S△DBC △ABC＝S△OBC·

[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的

2射影△OBC及底面△BCD的面积可得S△S△DBC. ABC＝S△OBC·

16．在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则圆的面积S圆＝πr2，过点P

x2y2

的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r.在椭圆2＋2＝1(a>b>0)中，当离心率e趋近于0时，短半

ab

2

轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆＝________.x2y2

类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点P(x1，y1)的椭

ab圆的切线方程为________．

[答案] πab

x1y1x＋2·y＝1 2·ab

[解析] 当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积S＝πr2＝π·r·r，猜想椭圆面积S椭＝π·a·b，其严格证明可用定积分处理．而由x0y0切线方程x0·x＋y0·y＝r2变形得2·x＋2·y＝1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为

rrx1y1x＋2·y＝1，其严格证明可用导数求切线处理． 2·ab

三、解答题 17．点P?

2222?在圆C：x2＋y2＝1上，经过点P的圆的切线方程为x＋y＝1，，222??2

11?又点Q(2,1)在圆C外部，容易证明直线2x＋y＝1与圆相交，点R??2，2?在圆C的内部．直11

线x＋y＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P(a，b)与圆x2＋y2＝r2的位置关22系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？

[解析] 点P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上时，直线ax＋by＝r2与⊙C相切；点P在⊙C内时，直线ax＋by＝r2与⊙C相离；点P在⊙C外部时，直线ax＋by＝r2与⊙C相交．容易证明此结论是正确的．

18．我们知道：

12＝ 1， 22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ??

n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1， 左右两边分别相加，得

n2＝2×[1＋2＋3＋?＋(n－1)]＋n n?n＋1?

∴1＋2＋3＋?＋n＝.

2

类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋?＋n2的表达式的过程． [解析] 我们记S1(n)＝1＋2＋3＋?＋n，

S2(n)＝12＋22＋32＋?＋n2，?Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋?＋nk (k∈N*)． 已知

13＝ 1， 23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ??

n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1. 将左右两边分别相加，得

S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.

n3＋3n2＋2n－3S1?n?2n3＋3n2＋nn?n＋1??2n＋1?

由此知S2(n)＝＝＝.

366