高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.1 常见函数的导数学案 苏教版选修1-1

-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------

[思路探究] (1)设出切点的坐标，由已知条件求出切点坐标，并求出斜率从而得出l的倾斜角．

(2)求x＝3时的导数．

【自主解答】 (1)设切点为B(x0，y0)，倾斜角为α，则k＝y′|x＝x＝3x0，

0

2

∴切线方程为y－y0＝3x0(x－x0)， 2323

即y－x0＝3x0·x－3x0，令y＝0得x＝x0，

32

依题意得|x0|＝

3

2

?x0－2x0?＋x3?0

3???

2

2

，

1342

∴x0＝，∴x0＝，

33∴k＝3×

3

＝3，∴tan α＝3，α＝60°. 3

x3

(2)y′＝2ln 2，当x＝3时瞬时速度为2ln 2＝8ln 2. 【答案】 (1)60° (2)8ln 2 [规律方法] 导数综合应用的解题策略 1

导数在实际问题中的应用非常广泛，如运动物体在某一时刻的瞬时速度等，解决

此类问题的关键是正确理解导数的实际意义，准确求出导数.

2

利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积

相关的最值问题，解题的关键是正确确定切线的斜率，进而求出切点坐标.

[跟踪训练]

12

3．求曲线y＝和y＝x在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．

x1??y＝，【解】 由?x??y＝x2，

′

解得交点为(1,1)．

1?1?∵y′＝??＝－2，∴k1＝－1，

x?x?

1

∴曲线y＝在(1,1)处的切线方程为y－1＝－x＋1，

x即y＝－x＋2.

∵y′＝(x)′＝2x，∴k2＝2，

∴曲线y＝x在(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1.

22

金戈铁制卷

-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------

??y＝－x＋2与y＝2x－1和x轴的交点分别为(2,0)，?，0?. 2

?

?

1?1?3

∴所求面积S＝×1×?2－?＝.

2?2?4

[构建·体系]

1

[当 堂 达 标·固 双 基]

1．f(x)＝x，f′(x)＝________.

【答案】

12x ππ

2．函数f(x)＝cos x，则f′()＋f()＝________.

23

【导学号：95902198】

【解析】 f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，

ππ11?π??π?∴f′??＋f??＝－sin ＋cos ＝－1＋＝－. 2322?2??3?1

【答案】 － 2

3．曲线f(x)＝ln x在(2，ln 2)处切线的斜率是________． 11

【解析】 ∵f′(x)＝，∴k＝f′(2)＝.

x21

【答案】

2

4．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x在点M(1,3)处的切线平行的直线方程是__________.

【导学号：95902199】

【解析】 y′＝6x，∴曲线y＝3x在点M(1,3)处切线的斜率为6×1＝6，∴所求直线方程为y－2＝6(x＋1)，即6x－y＋8＝0.

【答案】 6x－y＋8＝0 5．求下列函数的导数：

22

金戈铁制卷

-------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------

?π?(1)y＝cos?－x?； ?2?

(2)y＝log22x－1.

?π?【解】 (1)∵y＝cos?－x?＝sin x，∴y′＝cos x.

?2?

(2)∵y＝log22x－1＝log2x，∴y′＝1

. xln 2

金戈铁制卷