2014年上海中学自招数学试卷

数学

姓名 班级 学号

答案请写在答题纸上

本卷满分150分，时间为60分钟

一、填空题（本部分共8道题，每题9分，共72分） 1. 已知

xyz??，则x?y?z? a?bb?cc?a 。

2. 已知二次函数y?ax2?bx?c的图像如图所示，则下列6个代数式：

ab，ac，a?b?c，a?b?c，2a?b，2a?b中，其值为正的式子有 个。

y

1 –1O1

18，12，18，3. 已知△ABC的三边长分别为8，△DEF中有两边长分别为12，则当第三条

边长?

时，△ABC与△DEF相似但不全等。

4. 将8x2?2xy?3y2写成两个整系数多项式的平方差，有8x2?2xy?3y2? 。 5. 已知正整数a是一个小于10的完全平方数，且a是12的倍数，这样的a有 个？ 6. 在坐标平面上，把横、纵坐标都为整数的点叫做整点。对于任意的n个整点，其中一定

有两个整点，它们的连线的中点仍为整点，那么n的最小值为 。

7. 如右图，从A到B（方向只能左?右，或下?上，或左下?右上）有 种不同的路线？

B6xAC

38. 设[x]表示不超过x的最大整数，如[3.6]?3，[?1.2]??2。则方程x?[x]?6的

解为x?

。

二、解答题（本部分共五道题，其中前两题每题15分，后三题每题16分，共78分，要求

写出必要的解题步骤。） 9. 是否存在两个既约分数，（其中a，b，c，d均为整数，且a?2，c?2），使它

们的和与积都为整数？证明你的结论。

10. 设a1，a2，a3，?，a100都是正整数，且a2?a1，a3?3a2?2a1，

bdaca4?3a3?2a2，?，a100?3a99?2a98，求证：a100?298。

BC?3，AC?4，11. 如图，在以?C为直角的Rt?ABC中，点I是其内心。A'、B'、C'分别是A、B、C关于点I的对称点，求△ABC和△A'B'C'所围成公共部分图形的

面积。

AB'ICC'BA'

12. 如图，A、B、C三地的位置呈三角形状，记AB?c，AC?b，BC?a，在△ABC所在平面上有一点P，邮递员从P点出发，前往A地后立即返回，往返速度均为

vkm/h；再前往B地后立即返回，往返速度均为2vkm/h；最后以2vkm/h的速度到达C地。请你设计点P的位置，使得邮递员所花的总时间最短，说明理由。（其它因素忽略不计）

APBC

13. 在直角坐标平面内，对于任意实数x，y，由点A(x，y)可以“生成”点

x2?y2?2xyB(2，生成前的点A成为“基点”。，)，生成后的点B成为“黄金点”

x?y2x2?y2（1）求证：“黄金点”到原点的距离为定值，并请求出此定值；

（2）对于给定的“黄金点”(m，n)，可由多少个“基点”生成？说明理由。