步步高 学案导学设计高中数学 模块综合检测(a)北师大版选修2-2

模块综合检测(A)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．曲线y＝

xx＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为( )

A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2

32

2．函数f(x)＝x－3x＋1的减区间为( ) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(0,2) D．(－∞，0)

3＋i

3．i是虚数单位，复数等于( )

1－i

A．1＋2i B．2＋4i C．－1－2i D．2－i

32

4．函数f(x)＝x＋ax＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5

2π

5．?0|cos x|dx等于( )

A．0 B．1 C．2 D．4

6．在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( )

A．b4＋b8>b5＋b7 B．b5＋b7>b4＋b8 C．b4＋b7>b5＋b8 D．b4＋b5>b7＋b8

i2

7．在复平面内，复数＋(1＋3i)对应的点位于( )

1＋i

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为( )

A．②①③ B．③①② C．①②③ D．②③①

32

9．已知函数f(x)＝－x＋ax－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，－3]∪[3，＋∞) B．[－3，3]

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3，3)

32

10．函数f(x)＝x＋2x－4x＋5在[－4,1]上的最大值和最小值分别是( )

95

A．13， B．4，－11

27

C．13，－11 D．13，最小值不确定

11．类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两条直线平行；

③如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ④如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交． A．①②④ B．①③ C．②④ D．①③④

π

12．若0

2

A．2x>3sin x B．2x<3sin x C．2x＝3sin x D．与x的取值有关

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

x13．函数y＝xe＋1的单调减区间为________．

2,2,2,

14．考查下列例子：1＝12＋3＋4＝33＋4＋5＋6＋7＝54＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝2

7，……得出的结论是________________________．

15.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为______．

?a b??1＋i －1?

16．定义一种运算如下：?＝ad－bc，则复数???的共轭

?c d?? 2 3i?

复数是__________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

1＋y1＋x17．(10分)已知x，y∈(0，＋∞)，且x＋y>2，求证：和中至少有一个小于

xy2.

2

18．(12分)已知a>0，b>0，方程x＋(a＋bi)x＋1＋ai＝0有实根，求a的最小值，并求a取最小值时b的值，并解此方程．

2

19.(12分)已知实数a≠0，函数f(x)＝ax·(x－2) (x∈R)有极大值32，求a的值．

12

20．(12分)已知函数f(x)＝x＋ln x.

2

(1)求函数f(x)的单调区间；

1223

(2)求证：x>1时，x＋ln x

23

21.(12分)今欲制作一个容积为V的无盖圆柱形的桶，底用铝板，侧壁用木板，已知每平方米铝板价钱是木板价钱的5倍，则怎样才能使材料费用最少？

8·18·28·n22．(12分)已知数列22，22，…，，…，Sn为该数列的

1·33·5n－2n＋28244880

前n项和，计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝. 9254981

观察上述结果，推测出Sn (n∈N＋)，并用数学归纳法加以证明． 答案

x＋2－x2

1．A [易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝， 2＝x＋x＋2

2

∴切线斜率k＝y′|x＝－1＝＝2.

1

由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.]

2

2．C [由f′(x)＝3x－6x<0，得0

32

∴函数f(x)＝x－3x＋1的减区间为(0,2)．]

3＋i＋＋2＋4i

3．A [＝＝＝1＋2i.]

1－i－＋2

2

4．D [f′(x)＝3x＋2ax＋3，∵f′(3)＝0.

2

∴3×(－3)＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.] 5．D 6.B

1?i113?2

7．B [＋(1＋3i)＝＋i＋(－2＋23i)＝－＋?23＋?i，

2?1＋i222?

31

∴对应点(－，23＋)在第二象限．]

22

8．D

9．B [依题意可知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调减函数，

22

所以f(x)＝－3x＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a－12≤0，

解得－3≤a≤3.]

32

10．C [因为f(x)＝x＋2x－4x＋5，

2

所以f′(x)＝3x＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)．

2

令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝. 3

?2?95

∵f(－2)＝13，f??＝，f(－4)＝－11，f(1)＝4，

?3?27

∴f(x)在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.]

11．B

12．D [令f(x)＝2x－3sin x，则f′(x)＝2－3cos x.

2

当cos x<时，f′(x)>0，

32

当cos x＝时，f′(x)＝0，

32

当cos x>时，f′(x)<0.

3π

即当0

2

?π?而f(0)＝0，f??＝π－3>0. ?2?

故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x的大小关系与x取值有关．故选D.] 13．(－∞，－1)

x解析 y′＝e(1＋x)，令y′<0，得x<－1，∴函数的单调减区间为(－∞，－1)．

2

14．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)

115. 3

11231

解析 阴影部分的面积为S＝?03xdx＝x|0＝1，所以点M落在阴影区域的概率为.

3

16．－1－3i

?1＋i －1?

解析 ∵??＝3i(1＋i)－2·(－1)＝3i－1.

? 2 3i?

∴其共轭复数为－3i－1. 17．证明 反证法．

1＋y1＋x假设≥2，≥2，

xy即1＋y≥2x,1＋x≥2y. ∴2＋x＋y≥2x＋2y. 即x＋y≤2.

这与x＋y>2矛盾． 1＋y1＋x∴和中至少有一个小于2.

xy18．解 设方程有实根x0，

2

则x0＋(a＋bi)x0＋1＋ai＝0，

2

即(x0＋ax0＋1)＋(bx0＋a)i＝0.

??x0＋ax0＋1＝0，

∵a，b，x0∈R，∴?

?bx0＋a＝0.?

2

①②