近世代数证明题

是 的正规子群. 128. 设 是群,

,

, 证明:

.

129. 设 是群, 和 分别是 的子群和正规子群. 证明: (1) 是 的正规子群; (2) 是 的子群. 130. 设 为 的中心. 证明: 如果

是循环群, 则 是交换群.

131. 设 为群, 对任意的 , 称

为 的换位子, 的所有换位子生成的子群叫做 的换位子群, 记作

是 的正规子群;

是交换群; , 且

为交换群, 则

是 的子群.

. 证明:

(1)

(2) 商群 (3) 若 注:

是由所有换位子的可能乘积所组成的集合.

132. 设 与 仅当对任意的

为群, 为 到 的同态映射.

, 有

.

. 证明: 当且

133. 设 与 为群, 为 到 的同态映射. ,

. 证明:

134. 设 为 到

.

的同态映射, . 为 的子群. 证明:

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135. 设 与 分别为 阶与 阶循环群. 证明: 当且仅当 .

136. 设 都是群 的正规子群. 证明:

137. 设群 在集合 上的作用是传递的. 证明： 如果 是 的正规子群，则 在 的作用下的每个轨道有同样多的元素. 138. 设群 作用在集合 上，

.

139. 证明集合

. 证明： 如果存在

, 使得

, 则

关于通常的加法与乘法构成一个整环. 并求出 140. 证明集合

的所有单位.

关于通常数的加法与乘法构成域. 141. 证明: 由所有形如

的矩阵组成的集合 关于矩阵的加法与乘法构成一个无单位元的环, 试确定这个环的所有零因子.

145. 证明: 一个具有素数个元素的环是交换环. 146. 设 是环.

是 的单位元. 证明: 对任意的

,

.

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147. 设 是环. 证明: 对任意的 , 有

(1) (2)

; .

148. 设 是有单位元

, 则

.

的环(), 且 是无零因子环. . 证明: 如果

149. 设 为大于1的正整数. 令

证明:

关于剩余类的乘法构成一个交换群.

150. 设 为加群, 定义 的乘法为

证明 151. 设集合

为环, 并求出 的所有子环与理想.

证明 为

的子环.

152. 设 是交换环, 是 的非空子集. 令

证明:

是 的理想.

153. 设 是无零因子环, 是 的子环. 证明: 当 有单位元时, 的单位元就是 的单位元.

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154. 设 是有单位元的交换环, . 证明: 是 的单位当且仅当

. 证明:

.

155. 2. 设 为 的子环, 是 的理想, 且 (1)

是

的子环;

是

的理想.

(2) 如 是 的理想, 则 156. 设 :

为环同态. 证明

是 的理想.

是 的理想.

(1) 如果 是 的理想, 则

(2) 如果 是 的理想, 且 满, 则

157. 设 和 为 的理想, 且满足 158. 设 :

, 且

, . 证明: .

为环的满同态, 和 分别是 和 的理想. 证明: 如果 , 则有环同构

.

159. 证明: 是欧几里德环.

160. 设 是个正整数. 证明 是一个域.

161. 设 是素特征 的域. 证明: 对 中任意元 和 , 有

162. 设 是 上的变换

阶的有限域, 将 看成 如下:

上的线性空间. 对任意的 , 定义

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