近世代数证明题

67、证明：15阶群至多含有一个5阶子群。

68、设H?G, 若H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，证明H?G。 69、设N?G, [G:N]=2004, 证明：对?x?G, 恒有x2004?N。 70、设N?G, [G:N]=4,证明：存在M?G,且[G:M]=2。

71、设H，N?G, H?N??e?,a?H,b?N,|a|?2,|b|?3证明：|ab|=6。 72、设H?G, 证明：H?G??a,b?G,如果由ab?H?ba?H。 73、设k|m, 证明:

Zm?k??Zk。

74、群G的非平凡子群N称为G的极小子群，如果不存在子群B使得?e??B?N, 证明：

整数加群Z没有极小子群。

75、如果C(G)是循环群，证明：G是交换群（其中C(G)是群G的中心）。 76、证明：6阶交换群是循环群。举例说明6阶群不一定是循环群。

77、证明：在一个有单位元的环R中，全体可逆元组成的集合对R的乘法构成一个群。 78、设R为环，如果每个元素a?R都满足a2=a，证明R为交换环。

79、环R中元素a称作幂零的，是指存在正整数m，使得am=0，证明：当R为交换环时，

两个幂零元素之和，两个幂零元素之积都为幂零元素。

80、设R和R都是含单位元的环，1R?0R， f是R到R的满同态，证明：（1）f(1R)=1R； （2）如果a是R的单位，则f(a)是R的单位。

??00????A?|x,y?R81、设 ???证明：A是关于矩阵的加法和乘法构成一个无单位元的环。?xy????___G82、证明：一个具有素数个元素的环是交换环。

83、设R是一个有单位元1R的无零因子环，证明：如果ab=1R则ba=1R

84、设R是交换环，X是R的非空子集，令Ann(X)??r|r?R,rx?0,?x?X? 证明：Ann(X)是R的理想。

85、设R是环，I， J是R的两个理想，令

?I:J???x?R|xJ,Jx?I?，证明：[I:J]是R5

的理想。 86、设Z?2???a?b2|a,b?Z,I?(2)证明：Z[2]?I是域。

87、设R是有单位元的交换环，I是R的真理想，证明：如果R的每个不在I中的元素

都可逆，则I是R的唯一的极大理想。

88、在Z[x]中，证明(7, x)不是Z[x]的一个主理想。

89、设I和J是环R的理想, 且满足I+J=R，I∩J=｛0｝证明：R?J。

I90、证明：整环R的元素之间的相伴关系是一个等价关系。 91、在整环Z[?3]?a?b?3|a,b?Z中, 证明4??3是素元。

92、设f:R?R为环的同态。如果R是除环，求证f是零同态或f是单同态（零同态

是指g: R?R, x?0,x?R）。

93、设f:R?S是环的满同态。K=Kerf，P是R的素理想，且P?K,则f(P)是S的素理

想。

94、设f:R?S是环的满同态，Q是S的素理想，证明：f?1?????(Q)??a|a?R,f(a)?Q?是

R的素理想。

95、设D为整环，m和n为互素的正整数，a, b?D如果am=bm, an=bn求证a=b。 96、证明：Z[x]不是主理想整环。

97、设R为交换环，R2=R, 则R的每个极大理想都是素理想。

R[x]98、设R[x]是实数域R上的一元多项式环，取x+1?R[x]证明：

2(x2?1)?C，C为

复数域。

99、设R是一个主理想整环，p, q?R都是素元，且p与q不相伴，

证明(p, q)=R。

100、设S是环R的子环，I是R的理想，且I?S，证明：

S是RI的子环。 （1）I（2）若S是R的理想，则S是R的理想。

II 6

101、设f是环R到环R?的满同态，A为R的理想，证明：f(A)?R??A?Kerf?R。 102、设f是群G到群G的满同态，N是G的正规子群，证明：f(N)?G?N?Kerf?G。 103、设R是欧氏环，I是R的一个素理想，证明：I是R的一个极大理想。 104、设f是环R的满自同态，R只有有限个理想，证明f 是R的一个自同构。 105、设H，K?G,则对任意a, b ?G,则Ha?Kb=?或Ha?Kb是H?K的一个右陪集，

该结果能否推广？ 106. 方程 107. 设

在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群.

??

证明 关于矩阵的乘法构成群. 108. 设 是群. 证明: 如果对任意的 109. 证明: 在群 中, 如果 110. 设 为加群. 证明: 任给

, 则 ,

, 有 . , 有

.

, 则 是交换群.

111. 证明: 一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集。 112. 设群 的子群 在 中的指数为2. 证明:

,

.

113.设 为群, 是 的子群. 证明: 中每个元素属于且属于 的一个左陪集. 114. 设 是群, 是 的子群,

. 则

是 的子群.

115. 设 是群, 是 的非空子集. 证明: 中与 中每个元素都可交换的元素全体

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是 的子群. 116. 设

. 证明: 是

的子群.

117. 设 是交换群. 是一个固定的正整数. 令

,

.

证明: 与 都是 的子群.

118. 设 为群. . 证明: 与 有相同的阶.

119. 设 为群. . 证明:

(1) 与 有相同的阶.

(2) , , 有相同的阶.

120. 设 为群, , 的阶为 , , . 证明: .

121. 证明: 循环群是交换群.

122. 证明: 有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数. 123. 证明: 任意偶数阶群必含有阶为2的元素. 124. 设 为素数. 证明:

中每一个非零元都是生成元.

125. 设 为 到 的同构映射, . 证明: 与 有相同的阶.

126. 证明:

127. 设 是群, 证明: 的中心

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