动态电路时域分析中的问题解析

动态电路时域分析中的问题解析

09自动化一班 第二组

（大庆师范学院 物理与电气信息工程学院 黑龙江省大庆163712）

摘 要：关于动态电路的微分方程及其阶次动态电路的时域分析,主要是根据KVL、KCL和元的伏安关系,建立和求解电路动态过程的微分方程。这一微分方程是描述电路中激励(输入)与响应(输出)之间的关系的数学方程。动态电路的一个特征是当电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态，这种转变往往需要一个过程，在工程上称为过渡过程。本文以动态电路理论中一阶动态电路用三要素的方法分析计算。

关键词：动态电路,动态元件,时域分析,初始值,储能元件,换路定律。

0 引言

动态电路的一个特征是当电路的结构或元件的参数发生变化时，例如电路中的电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等。可能使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态，这种转变往往需要一个过程，在工程上称为过渡过程。本文以动态电路理论中一阶动态电路用三要素的方法分析计算。

1 基本概念

1.1动态电路

对于含有一个电容和一个电阻，或一个电感和一个电阻的电路，当电路的无源元件都是线性不变时，电路方程将是一阶线性常微分方程，相应的电路称为一阶电阻电容电路（简称为RC电路）或是一阶电阻电感电路（简称为RL电路）。如果电路仅含一个动态元件，则可以把该动态元件以外电阻电路用戴维南定理或诺顿定理置换为电压源和电阻的串联组合，或电流源和电阻的并联组合，从而把它变换为RC电路或RL电路，这种电路称为一阶动态电路。 1.2换路定律

电路在某一时刻接通、断开、电源或电路元件参数的突然变化统称为换路。设换路的时刻为t=0，换路前的瞬间记作t=0，换路后的瞬间记作t=0+，0_和0+在数值上都等于零，前者是指t从负值趋近于零，后者是指t从正值趋近于零。在换路过程中，如果电容电流和电感电压为有限值，则换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变，这一规律称为换路定律，即uc(0?)?uc(0?),il(0?)?il(0?). 1.3初始值与稳态值

电流、电压的初始值：是电路换路瞬间的数值，由电路的初始状态与换路定律决定。电流、电压的稳态值：是t=∞时电路到达稳定状态时的数值。对于直流激励的电路，稳态时，电容电流为零，电容相当于开路；电感电压为零，电感相当于短路。

2 电路动态分析

2.1动态电路分析方法

电路的动态分析，是欧姆定律的具体应用，电路发生动态变化的原因是由于电路中滑动变阻器触头位置的变化，引起电路的电阻发生改变，从而引起电路中各物理量的变化，在此将动态电路的分析方法介绍如下。 (1)程序法

根据欧姆定律及串、并联电路的性质进行分析。基本思路是：“部分—整体—部分”，即从阻值变化的部分如手，由串并联电路规律判知 的变化情况，再由欧姆定律判知和的变化情况，最后由部分电路的欧姆定律得知个部分物理量的变化情况，一般思路是：

1

1确定电路的外电阻如何变化。 ○

2根据闭合电路的欧姆定律确定电路的总电流如何变化。（利用电动势不变） ○

3由确定电源内电压如何变化。（利用r不变） ○

4由确定电源的外电压如何变化。 ○

5由部分电路的欧姆定律确定干路上某定值电阻两端电压如何变化。 ○

6由部分电路和整体的串并联规律确定支路两端电压如何变化及通过各支路电路如何变化。 ○

(2) “串反并同”法

所谓“串反”，即某一电阻增大（减小）时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都减小（增大）。所谓“并同”，即某一电阻增大（减小）时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都增大（减小）。但须注意的前提有两点：

1电路中电源内阻不能忽略。 ○

2滑动变阻器必须是限流接法。 ○

(3)极限法 即因滑动变阻器滑片滑动引起的电路变化问题，可将变阻器的滑动端分别滑至两个极端讨论。

1在串联电路中，分电压变小,总电压不变。(条件是加在两个电阻两端的电压一定时) ○

2在并联电路中，分电流变小,总电流变小。（条件是电源额定功率不变） 在处理闭合电路中的动态○

分析问题时，一是要抓住变化因素和不变因素，用数学语言描述时要明确谁是自变量、谁是常量、谁是因变量。一般情况下电源的电动势和内阻不会变化。二是要从元件的变化情况入手，从局部到整体，再回到局部，逐步分析各物理量的变化情况。

3 几个问题

严格来讲,电路微分方程的阶数与该电路中所包含的独立动态元件个数相等。所谓独立动态元件，就是指各电容的电压不能根据KVL用其他电容电压和电压源表示出来。各电感的电流不能根据KCL 用其他电感的电流和电流源表示。

3.1动态电路中初始值的计算：

对于通常遇到的电路，初始值由下面两个简单关系确定： uc(0?)?uc(0?)

il(0?)?il(0?)

另外，把未充过电的电容与独立电压源骤然接通，电容上电压必然要突变，把原先未具有磁场能量的电独立电流源骤然接通，电感中的电流也必然要跃变。这时电容中的电场能量和电感中的磁场能量也将跃变，电容和电感所吸收的功率将无限大，而独立电压源与电流源都是理想元件，设想他们可以发出无限大的功率，因此并不矛盾。 3.2有种不相容的情况：

换路后的电路有纯电容构成的回路，或有电容和独立电压源构成的回路,即如电容上的电压不跃变，在T=0+时刻，该回路的电压将不能满足KVL.此种情况，要想求得初始值，必须遵循换路电路中电荷守恒和磁通链守恒的约束关系。

2

4 动态电路及其方程

当电路中含有n个独立的动态元件时，建立的方程将是n阶微分方程。对于线性非时变电路，电路方程就是线性常系数微分方程。在求n阶线性常微分方程过程中，需要计算n个积分常数，它们必须通过n个初始条件来确定。因此，在分析动态电路时，不仅需要知道电路参数，还要明确电路变量（电压或电流）及其1阶至n?1 阶导数的初始值，也就是初始条件。 4.1电容电压和电感电流在换路时的连续性

对线性电路而言，在任意时刻t，它的电荷、电压和电流都有如下的关系

q(t)?q(t0)??tt0iC(?)d? 4.1 1C uC(t)?uC(t0)??tt0iC(?)d? 4.2

iC分别为电容器储存的电荷、其中q、uC、两极的电压和电容器引线中的电流。如果令t0?0?,t?0?，

则有

q(0?)?q(0?)??0?0?iCdt 4.3 1CuC(0?)?uC(0?)??0?0?iCdt 4.4

由式4.3和式4.4可以看出，如果在换路过程中，即从0?到0?时间内，电流iC为有限值，则式4.3和式4.4中右方的积分项为零，导致电容储存电荷和电压保持连续性而不发生跃变，即

q(0?)?q(0?) 4.5

uC(0?)?uC(0?) 4.6

对于在t?0?时储存了电荷q(0?)而具有电压uC(0?)?U0的一个线性电容，在换路瞬间电流保持iC为有限值的条件下，有uC(0?)?uC(0?)?U0 ，说明在换路瞬间，电容可视为一个电压为U0的电压源。同理，对于一个在 t?0?不带电荷的电容，在换路瞬间能保持电流iC为有限值的条件下，有

uC(0?)?uC(0?)?0，说明电容在换路瞬间相当于短路。

对线性电感而言，在任意时刻，其磁通链、电流与电压的关系为 ?L(t)??L(t0)? iL(t)?iL(t0)?1L?t0tuL(?)d? 4.7

t?t0uL(?)d? 4.8

其中?L、iL、uL分别为电感中的磁通链、电感绕组中的电流和电感两端的电压。如果令

t0?0?,t?0?，则有

?L(0?)??L(0?)??0?0?uLdt 4.9

3

iL(0?)?iL(0?)??L10?0?uLdt 4.10

同理，如果换路前后电压uL(t)为有限值，则式4.7和4.8中右方的积分项为零，导致电感中的磁通链和电流保持连续性而不发生跃变，即

?L(0?)??L(0?) 4.11 iL(0?)?iL(0?) 4.12

对于在t?0?时电流为I0的电感，在换路瞬间能保持电压uL为有限值的情况下，有iL(0?)?iL(0?)，说明电感在换路瞬间可以视为一个电流值为I0的电流源。同理，对于一个在t?0?时电流为零的电感，在换路瞬间保持电压uL为有限值的条件下，有iL(0?)?iL(0?)?0，说明电感在换路瞬间相当于开路。 式4.5、4.6和式4.9、4.10分别说明在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路后的瞬

间电容电压和电感电流保持连续而不发生跃变。通常将上述关系称为换路定则。

从上述分析可以看出，确定电路初始条件的步骤为

0?）（1）根据换路前的电路确定uC(0?)和i（； L0?）（2）根据换路定则确定uC(0?)和i（； L0?）和i（0?）（3）根据已经确定的u（画出t?0?时的等效电路亦称为初始条件等效电路，显然等效CL变换后的t?0?时刻的电路为一个直流电阻网络，很容易根据基尔霍夫定律确定其他非独立初始条件。

5 一阶电路的零输入响应与时间常数

5.1一阶电路的一般形式

研究表明，任意一阶电路换路后都可以用图1（a）来表示。因此一阶电路总可以看成一个有源二端电阻网络N外接一个电容或电感构成。根据戴维南等效和诺顿等效，图1（a）的电路可以简成图1（b）和图1（c）的电路，称为一阶电路的一般形式。即常见的RC电路和RL电路。

NN (a)

?U0??U0?

CLR0R0 (b)

4